Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7959 / 9463
↖ ↑ ↗
← S 26.882881°
W  5.119629°		 ← 2 179.18 m → S 26.882881°
W  5.097656°		 →
↑
2 179.01 m
↓
↑
2 179.01 m
↓
S 26.902477°
W  5.119629°		 ← 2 178.81 m →
4 748 049 m²		 S 26.902477°
W  5.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485809326171875 y=0.577606201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485809326171875 × 214)
    floor (0.485809326171875 × 16384)
    floor (7959.5)     		tx = 7959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577606201171875 × 214)
    floor (0.577606201171875 × 16384)
    floor (9463.5)     		ty = 9463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7959 / 9463 ti = "14/7959/9463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7959/9463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7959 ÷ 214
    7959 ÷ 16384     		x = 0.48577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9463 ÷ 214
    9463 ÷ 16384     		y = 0.57757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0284423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08935438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.1551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.487422395336731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08935438} λ = -0.08935438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.487422395336731))-π/2
    2×atan(0.614207539743557)-π/2
    2×0.550800775217458-π/2
    1.10160155043492-1.57079632675     		φ = -0.46919478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08935438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.119629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46919478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.882881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7959 KachelY 9463 -0.08935438 -0.46919478 -5.119629 -26.882881
    Oben rechts KachelX + 1 7960 KachelY 9463 -0.08897089 -0.46919478 -5.097656 -26.882881
    Unten links KachelX 7959 KachelY + 1 9464 -0.08935438 -0.46953680 -5.119629 -26.902477
    Unten rechts KachelX + 1 7960 KachelY + 1 9464 -0.08897089 -0.46953680 -5.097656 -26.902477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46919478--0.46953680) × R
    0.000342019999999998 × 6371000     		dl = 2179.00941999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46919478--0.46953680) × R
    0.000342019999999998 × 6371000     		dr = 2179.00941999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08935438--0.08897089) × cos(-0.46919478) × R
    0.00038349 × 0.891932672213462 × 6371000     		do = 2179.18309643615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08935438--0.08897089) × cos(-0.46953680) × R
    0.00038349 × 0.891777969470339 × 6371000     		du = 2178.8051244061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46919478)-sin(-0.46953680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891932672213462-0.891777969470339)×R²
    abs(-0.08897089--0.08935438)×0.000154702743122903×R²
    0.00038349×0.000154702743122903×6371000²
    0.00038349×0.000154702743122903×40589641000000     		ar = 4748048.73901662m²