Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79589 / 82649
↖ ↑ ↗
← S 42.474123°
E 38.597717°		 ← 225.28 m → S 42.474123°
E 38.600464°		 →
↑
225.28 m
↓
↑
225.28 m
↓
S 42.476149°
E 38.597717°		 ← 225.27 m →
50 749 m²		 S 42.476149°
E 38.600464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607219696044922 y=0.630565643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607219696044922 × 217)
    floor (0.607219696044922 × 131072)
    floor (79589.5)     		tx = 79589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630565643310547 × 217)
    floor (0.630565643310547 × 131072)
    floor (82649.5)     		ty = 82649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79589 / 82649 ti = "17/79589/82649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79589/82649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79589 ÷ 217
    79589 ÷ 131072     		x = 0.607215881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82649 ÷ 217
    82649 ÷ 131072     		y = 0.630561828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607215881347656 × 2 - 1) × π
    0.214431762695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.67365725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630561828613281 × 2 - 1) × π
    -0.261123657226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.820344163198021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67365725} λ = 0.67365725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820344163198021))-π/2
    2×atan(0.440280100220475)-π/2
    2×0.414741518767781-π/2
    0.829483037535563-1.57079632675     		φ = -0.74131329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67365725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.597717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74131329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.474123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79589 KachelY 82649 0.67365725 -0.74131329 38.597717 -42.474123
    Oben rechts KachelX + 1 79590 KachelY 82649 0.67370519 -0.74131329 38.600464 -42.474123
    Unten links KachelX 79589 KachelY + 1 82650 0.67365725 -0.74134865 38.597717 -42.476149
    Unten rechts KachelX + 1 79590 KachelY + 1 82650 0.67370519 -0.74134865 38.600464 -42.476149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74131329--0.74134865) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dl = 225.278560000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74131329--0.74134865) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dr = 225.278560000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67365725-0.67370519) × cos(-0.74131329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7375823865831 × 6371000     		do = 225.276646232962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67365725-0.67370519) × cos(-0.74134865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737558509029056 × 6371000     		du = 225.269353413348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74131329)-sin(-0.74134865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7375823865831-0.737558509029056)×R²
    abs(0.67370519-0.67365725)×2.38775540442049e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38775540442049e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38775540442049e-05×40589641000000     		ar = 50749.1770123263m²