Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79584 / 82848
↖ ↑ ↗
← S 42.875964°
E 38.583985°		 ← 223.78 m → S 42.875964°
E 38.586731°		 →
↑
223.81 m
↓
↑
223.81 m
↓
S 42.877977°
E 38.583985°		 ← 223.77 m →
50 084 m²		 S 42.877977°
E 38.586731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607181549072266 y=0.632083892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607181549072266 × 217)
    floor (0.607181549072266 × 131072)
    floor (79584.5)     		tx = 79584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632083892822266 × 217)
    floor (0.632083892822266 × 131072)
    floor (82848.5)     		ty = 82848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79584 / 82848 ti = "17/79584/82848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79584/82848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79584 ÷ 217
    79584 ÷ 131072     		x = 0.607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82848 ÷ 217
    82848 ÷ 131072     		y = 0.632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607177734375 × 2 - 1) × π
    0.21435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67341757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.26416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.829883606222412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67341757} λ = 0.67341757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829883606222412))-π/2
    2×atan(0.436100042698991)-π/2
    2×0.411234791629404-π/2
    0.822469583258809-1.57079632675     		φ = -0.74832674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67341757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.583985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74832674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.875964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79584 KachelY 82848 0.67341757 -0.74832674 38.583985 -42.875964
    Oben rechts KachelX + 1 79585 KachelY 82848 0.67346550 -0.74832674 38.586731 -42.875964
    Unten links KachelX 79584 KachelY + 1 82849 0.67341757 -0.74836187 38.583985 -42.877977
    Unten rechts KachelX + 1 79585 KachelY + 1 82849 0.67346550 -0.74836187 38.586731 -42.877977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74832674--0.74836187) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dl = 223.813229999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74832674--0.74836187) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dr = 223.813229999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67341757-0.67346550) × cos(-0.74832674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.732828402922542 × 6371000     		do = 223.777968758222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67341757-0.67346550) × cos(-0.74836187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.732804499544071 × 6371000     		du = 223.770669574049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74832674)-sin(-0.74836187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732828402922542-0.732804499544071)×R²
    abs(0.67346550-0.67341757)×2.39033784710241e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39033784710241e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39033784710241e-05×40589641000000     		ar = 50083.6531686965m²