Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79581 / 82779
↖ ↑ ↗
← S 42.736927°
E 38.575745°		 ← 224.28 m → S 42.736927°
E 38.578491°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 42.738944°
E 38.575745°		 ← 224.27 m →
50 311 m²		 S 42.738944°
E 38.578491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607158660888672 y=0.631557464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607158660888672 × 217)
    floor (0.607158660888672 × 131072)
    floor (79581.5)     		tx = 79581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631557464599609 × 217)
    floor (0.631557464599609 × 131072)
    floor (82779.5)     		ty = 82779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79581 / 82779 ti = "17/79581/82779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79581/82779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79581 ÷ 217
    79581 ÷ 131072     		x = 0.607154846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82779 ÷ 217
    82779 ÷ 131072     		y = 0.631553649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607154846191406 × 2 - 1) × π
    0.214309692382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.67327376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631553649902344 × 2 - 1) × π
    -0.263107299804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.826575960148628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67327376} λ = 0.67327376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826575960148628))-π/2
    2×atan(0.437544895506573)-π/2
    2×0.412448123761978-π/2
    0.824896247523955-1.57079632675     		φ = -0.74590008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67327376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.575745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74590008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.736927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79581 KachelY 82779 0.67327376 -0.74590008 38.575745 -42.736927
    Oben rechts KachelX + 1 79582 KachelY 82779 0.67332169 -0.74590008 38.578491 -42.736927
    Unten links KachelX 79581 KachelY + 1 82780 0.67327376 -0.74593529 38.575745 -42.738944
    Unten rechts KachelX + 1 79582 KachelY + 1 82780 0.67332169 -0.74593529 38.578491 -42.738944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74590008--0.74593529) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dl = 224.322910000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74590008--0.74593529) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dr = 224.322910000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67327376-0.67332169) × cos(-0.74590008) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.734477375833073 × 6371000     		do = 224.281502473078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67327376-0.67332169) × cos(-0.74593529) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.734453480703751 × 6371000     		du = 224.274205807881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74590008)-sin(-0.74593529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734477375833073-0.734453480703751)×R²
    abs(0.67332169-0.67327376)×2.38951293216605e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38951293216605e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38951293216605e-05×40589641000000     		ar = 50310.6608947828m²