Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79581 / 82777
↖ ↑ ↗
← S 42.732892°
E 38.575745°		 ← 224.30 m → S 42.732892°
E 38.578491°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 42.734909°
E 38.575745°		 ← 224.29 m →
50 314 m²		 S 42.734909°
E 38.578491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607158660888672 y=0.631542205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607158660888672 × 217)
    floor (0.607158660888672 × 131072)
    floor (79581.5)     		tx = 79581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631542205810547 × 217)
    floor (0.631542205810547 × 131072)
    floor (82777.5)     		ty = 82777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79581 / 82777 ti = "17/79581/82777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79581/82777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79581 ÷ 217
    79581 ÷ 131072     		x = 0.607154846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82777 ÷ 217
    82777 ÷ 131072     		y = 0.631538391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607154846191406 × 2 - 1) × π
    0.214309692382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.67327376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631538391113281 × 2 - 1) × π
    -0.263076782226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.826480086349388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67327376} λ = 0.67327376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826480086349388))-π/2
    2×atan(0.437586846609017)-π/2
    2×0.412483333475626-π/2
    0.824966666951251-1.57079632675     		φ = -0.74582966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67327376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.575745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74582966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.732892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79581 KachelY 82777 0.67327376 -0.74582966 38.575745 -42.732892
    Oben rechts KachelX + 1 79582 KachelY 82777 0.67332169 -0.74582966 38.578491 -42.732892
    Unten links KachelX 79581 KachelY + 1 82778 0.67327376 -0.74586487 38.575745 -42.734909
    Unten rechts KachelX + 1 79582 KachelY + 1 82778 0.67332169 -0.74586487 38.578491 -42.734909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74582966--0.74586487) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dl = 224.322910000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74582966--0.74586487) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dr = 224.322910000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67327376-0.67332169) × cos(-0.74582966) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.734525163359994 × 6371000     		do = 224.296094969307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67327376-0.67332169) × cos(-0.74586487) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.73450127005183 × 6371000     		du = 224.288798860223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74582966)-sin(-0.74586487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734525163359994-0.73450127005183)×R²
    abs(0.67332169-0.67327376)×2.38933081639914e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38933081639914e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38933081639914e-05×40589641000000     		ar = 50313.9343882356m²