Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79580 / 82650
↖ ↑ ↗
← S 42.476149°
E 38.572998°		 ← 225.27 m → S 42.476149°
E 38.575745°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
S 42.478174°
E 38.572998°		 ← 225.26 m →
50 733 m²		 S 42.478174°
E 38.575745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607151031494141 y=0.630573272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607151031494141 × 217)
    floor (0.607151031494141 × 131072)
    floor (79580.5)     		tx = 79580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630573272705078 × 217)
    floor (0.630573272705078 × 131072)
    floor (82650.5)     		ty = 82650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79580 / 82650 ti = "17/79580/82650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79580/82650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79580 ÷ 217
    79580 ÷ 131072     		x = 0.607147216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82650 ÷ 217
    82650 ÷ 131072     		y = 0.630569458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607147216796875 × 2 - 1) × π
    0.21429443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67322582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630569458007812 × 2 - 1) × π
    -0.261138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.820392100097641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67322582} λ = 0.67322582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820392100097641))-π/2
    2×atan(0.440258995063368)-π/2
    2×0.414723840347484-π/2
    0.829447680694968-1.57079632675     		φ = -0.74134865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67322582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.572998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74134865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.476149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79580 KachelY 82650 0.67322582 -0.74134865 38.572998 -42.476149
    Oben rechts KachelX + 1 79581 KachelY 82650 0.67327376 -0.74134865 38.575745 -42.476149
    Unten links KachelX 79580 KachelY + 1 82651 0.67322582 -0.74138400 38.572998 -42.478174
    Unten rechts KachelX + 1 79581 KachelY + 1 82651 0.67327376 -0.74138400 38.575745 -42.478174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74134865--0.74138400) × R
    3.53499999999896e-05 × 6371000     		dl = 225.214849999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74134865--0.74138400) × R
    3.53499999999896e-05 × 6371000     		dr = 225.214849999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67322582-0.67327376) × cos(-0.74134865) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.737558509029056 × 6371000     		do = 225.26935341387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67322582-0.67327376) × cos(-0.74138400) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.737534637305913 × 6371000     		du = 225.262062375164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74134865)-sin(-0.74138400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737558509029056-0.737534637305913)×R²
    abs(0.67327376-0.67322582)×2.38717231423324e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38717231423324e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38717231423324e-05×40589641000000     		ar = 50733.1826189127m²