Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7958 / 9458
↖ ↑ ↗
← S 26.784848°
W  5.141602°		 ← 2 181.13 m → S 26.784848°
W  5.119629°		 →
↑
2 180.86 m
↓
↑
2 180.86 m
↓
S 26.804461°
W  5.141602°		 ← 2 180.75 m →
4 756 315 m²		 S 26.804461°
W  5.119629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485748291015625 y=0.577301025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485748291015625 × 214)
    floor (0.485748291015625 × 16384)
    floor (7958.5)     		tx = 7958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577301025390625 × 214)
    floor (0.577301025390625 × 16384)
    floor (9458.5)     		ty = 9458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7958 / 9458 ti = "14/7958/9458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7958/9458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7958 ÷ 214
    7958 ÷ 16384     		x = 0.4857177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9458 ÷ 214
    9458 ÷ 16384     		y = 0.5772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4857177734375 × 2 - 1) × π
    -0.028564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08973788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.154541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.485504919351929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08973788} λ = -0.08973788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.485504919351929))-π/2
    2×atan(0.615386397805518)-π/2
    2×0.551656275356413-π/2
    1.10331255071283-1.57079632675     		φ = -0.46748378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08973788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.141602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46748378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.784848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7958 KachelY 9458 -0.08973788 -0.46748378 -5.141602 -26.784848
    Oben rechts KachelX + 1 7959 KachelY 9458 -0.08935438 -0.46748378 -5.119629 -26.784848
    Unten links KachelX 7958 KachelY + 1 9459 -0.08973788 -0.46782609 -5.141602 -26.804461
    Unten rechts KachelX + 1 7959 KachelY + 1 9459 -0.08935438 -0.46782609 -5.119629 -26.804461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46748378--0.46782609) × R
    0.000342310000000012 × 6371000     		dl = 2180.85701000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46748378--0.46782609) × R
    0.000342310000000012 × 6371000     		dr = 2180.85701000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08973788--0.08935438) × cos(-0.46748378) × R
    0.000383500000000009 × 0.892705026102043 × 6371000     		do = 2181.12699711711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08973788--0.08935438) × cos(-0.46782609) × R
    0.000383500000000009 × 0.892550714720881 × 6371000     		du = 2180.74997143721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46748378)-sin(-0.46782609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892705026102043-0.892550714720881)×R²
    abs(-0.08935438--0.08973788)×0.000154311381162731×R²
    0.000383500000000009×0.000154311381162731×6371000²
    0.000383500000000009×0.000154311381162731×40589641000000     		ar = 4756315.02825795m²