Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79575 / 82857
S 42.894076°
E 38.559265°
← 223.76 m → S 42.894076°
E 38.562012°

223.75 m

223.75 m
S 42.896088°
E 38.559265°
← 223.75 m →
50 065 m²
S 42.896088°
E 38.562012°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607112884521484 y=0.632152557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607112884521484 × 217)
    floor (0.607112884521484 × 131072)
    floor (79575.5)
    tx = 79575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632152557373047 × 217)
    floor (0.632152557373047 × 131072)
    floor (82857.5)
    ty = 82857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79575 / 82857 ti = "17/79575/82857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79575/82857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79575 ÷ 217
    79575 ÷ 131072
    x = 0.607109069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82857 ÷ 217
    82857 ÷ 131072
    y = 0.632148742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.607109069824219 × 2 - 1) × π
    0.214218139648438 × 3.1415926535
    Λ = 0.67298613
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.632148742675781 × 2 - 1) × π
    -0.264297485351562 × 3.1415926535
    Φ = -0.830315038318993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67298613} λ = 0.67298613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830315038318993))-π/2
    2×atan(0.435911935723862)-π/2
    2×0.411076731985918-π/2
    0.822153463971836-1.57079632675
    φ = -0.74864286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67298613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.559265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74864286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.894076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79575 KachelY 82857 0.67298613 -0.74864286 38.559265 -42.894076
    Oben rechts KachelX + 1 79576 KachelY 82857 0.67303407 -0.74864286 38.562012 -42.894076
    Unten links KachelX 79575 KachelY + 1 82858 0.67298613 -0.74867798 38.559265 -42.896088
    Unten rechts KachelX + 1 79576 KachelY + 1 82858 0.67303407 -0.74867798 38.562012 -42.896088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.74864286--0.74867798) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000
    dl = 223.749519999644m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.74864286--0.74867798) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000
    dr = 223.749519999644m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.67298613-0.67303407) × cos(-0.74864286) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.732613273993848 × 6371000
    do = 223.758951343765m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.67298613-0.67303407) × cos(-0.74867798) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.732589369285137 × 6371000
    du = 223.751650230418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.74864286)-sin(-0.74867798))×
    abs(λ12)×abs(0.732613273993848-0.732589369285137)×
    abs(0.67303407-0.67298613)×2.39047087110533e-05×
    4.79400000000796e-05×2.39047087110533e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39047087110533e-05×40589641000000
    ar = 50065.1411536079m²