Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79572 / 82796
↖ ↑ ↗
← S 42.771211°
E 38.551025°		 ← 224.20 m → S 42.771211°
E 38.553772°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
S 42.773227°
E 38.551025°		 ← 224.20 m →
50 265 m²		 S 42.773227°
E 38.553772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607089996337891 y=0.631687164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607089996337891 × 217)
    floor (0.607089996337891 × 131072)
    floor (79572.5)     		tx = 79572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631687164306641 × 217)
    floor (0.631687164306641 × 131072)
    floor (82796.5)     		ty = 82796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79572 / 82796 ti = "17/79572/82796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79572/82796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79572 ÷ 217
    79572 ÷ 131072     		x = 0.607086181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82796 ÷ 217
    82796 ÷ 131072     		y = 0.631683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607086181640625 × 2 - 1) × π
    0.21417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67284232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631683349609375 × 2 - 1) × π
    -0.26336669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.827390887442169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67284232} λ = 0.67284232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827390887442169))-π/2
    2×atan(0.43718847347782)-π/2
    2×0.412148933688781-π/2
    0.824297867377562-1.57079632675     		φ = -0.74649846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67284232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.551025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74649846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.771211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79572 KachelY 82796 0.67284232 -0.74649846 38.551025 -42.771211
    Oben rechts KachelX + 1 79573 KachelY 82796 0.67289026 -0.74649846 38.553772 -42.771211
    Unten links KachelX 79572 KachelY + 1 82797 0.67284232 -0.74653365 38.551025 -42.773227
    Unten rechts KachelX + 1 79573 KachelY + 1 82797 0.67289026 -0.74653365 38.553772 -42.773227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74649846--0.74653365) × R
    3.51900000000738e-05 × 6371000     		dl = 224.19549000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74649846--0.74653365) × R
    3.51900000000738e-05 × 6371000     		dr = 224.19549000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67284232-0.67289026) × cos(-0.74649846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734071163845877 × 6371000     		do = 224.204228430141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67284232-0.67289026) × cos(-0.74653365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73404726682838 × 6371000     		du = 224.196929665888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74649846)-sin(-0.74653365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734071163845877-0.73404726682838)×R²
    abs(0.67289026-0.67284232)×2.38970174974984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38970174974984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38970174974984e-05×40589641000000     		ar = 50264.7586832457m²