Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79570 / 82797
↖ ↑ ↗
← S 42.773227°
E 38.545532°		 ← 224.20 m → S 42.773227°
E 38.548279°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
S 42.775244°
E 38.545532°		 ← 224.19 m →
50 263 m²		 S 42.775244°
E 38.548279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607074737548828 y=0.631694793701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607074737548828 × 217)
    floor (0.607074737548828 × 131072)
    floor (79570.5)     		tx = 79570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631694793701172 × 217)
    floor (0.631694793701172 × 131072)
    floor (82797.5)     		ty = 82797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79570 / 82797 ti = "17/79570/82797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79570/82797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79570 ÷ 217
    79570 ÷ 131072     		x = 0.607070922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82797 ÷ 217
    82797 ÷ 131072     		y = 0.631690979003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607070922851562 × 2 - 1) × π
    0.214141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67274645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631690979003906 × 2 - 1) × π
    -0.263381958007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.827438824341789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67274645} λ = 0.67274645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827438824341789))-π/2
    2×atan(0.437167516520161)-π/2
    2×0.412131339427299-π/2
    0.824262678854597-1.57079632675     		φ = -0.74653365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67274645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.545532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74653365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.773227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79570 KachelY 82797 0.67274645 -0.74653365 38.545532 -42.773227
    Oben rechts KachelX + 1 79571 KachelY 82797 0.67279439 -0.74653365 38.548279 -42.773227
    Unten links KachelX 79570 KachelY + 1 82798 0.67274645 -0.74656884 38.545532 -42.775244
    Unten rechts KachelX + 1 79571 KachelY + 1 82798 0.67279439 -0.74656884 38.548279 -42.775244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74653365--0.74656884) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dl = 224.195489999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74653365--0.74656884) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dr = 224.195489999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67274645-0.67279439) × cos(-0.74653365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73404726682838 × 6371000     		do = 224.196929665888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67274645-0.67279439) × cos(-0.74656884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734023368901885 × 6371000     		du = 224.189630624004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74653365)-sin(-0.74656884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73404726682838-0.734023368901885)×R²
    abs(0.67279439-0.67274645)×2.38979264948203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38979264948203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38979264948203e-05×40589641000000     		ar = 50263.1223017898m²