Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7957 / 9461
↖ ↑ ↗
← S 26.843677°
W  5.163574°		 ← 2 179.94 m → S 26.843677°
W  5.141602°		 →
↑
2 179.77 m
↓
↑
2 179.77 m
↓
S 26.863280°
W  5.163574°		 ← 2 179.56 m →
4 751 362 m²		 S 26.863280°
W  5.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485687255859375 y=0.577484130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485687255859375 × 214)
    floor (0.485687255859375 × 16384)
    floor (7957.5)     		tx = 7957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577484130859375 × 214)
    floor (0.577484130859375 × 16384)
    floor (9461.5)     		ty = 9461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7957 / 9461 ti = "14/7957/9461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7957/9461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7957 ÷ 214
    7957 ÷ 16384     		x = 0.48565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9461 ÷ 214
    9461 ÷ 16384     		y = 0.57745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48565673828125 × 2 - 1) × π
    -0.0286865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09012137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.1549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.48665540494281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09012137} λ = -0.09012137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.48665540494281))-π/2
    2×atan(0.614678811733856)-π/2
    2×0.551142886407345-π/2
    1.10228577281469-1.57079632675     		φ = -0.46851055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09012137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46851055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.843677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7957 KachelY 9461 -0.09012137 -0.46851055 -5.163574 -26.843677
    Oben rechts KachelX + 1 7958 KachelY 9461 -0.08973788 -0.46851055 -5.141602 -26.843677
    Unten links KachelX 7957 KachelY + 1 9462 -0.09012137 -0.46885269 -5.163574 -26.863280
    Unten rechts KachelX + 1 7958 KachelY + 1 9462 -0.08973788 -0.46885269 -5.141602 -26.863280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46851055--0.46885269) × R
    0.000342139999999991 × 6371000     		dl = 2179.77393999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46851055--0.46885269) × R
    0.000342139999999991 × 6371000     		dr = 2179.77393999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09012137--0.08973788) × cos(-0.46851055) × R
    0.00038349 × 0.892241850468986 × 6371000     		do = 2179.9384853228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09012137--0.08973788) × cos(-0.46885269) × R
    0.00038349 × 0.892087302250788 × 6371000     		du = 2179.56089083033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46851055)-sin(-0.46885269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892241850468986-0.892087302250788)×R²
    abs(-0.08973788--0.09012137)×0.000154548218197381×R²
    0.00038349×0.000154548218197381×6371000²
    0.00038349×0.000154548218197381×40589641000000     		ar = 4751361.61214129m²