Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79568 / 82738
↖ ↑ ↗
← S 42.654162°
E 38.540039°		 ← 224.58 m → S 42.654162°
E 38.542786°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
S 42.656182°
E 38.540039°		 ← 224.57 m →
50 435 m²		 S 42.656182°
E 38.542786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607059478759766 y=0.631244659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607059478759766 × 217)
    floor (0.607059478759766 × 131072)
    floor (79568.5)     		tx = 79568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631244659423828 × 217)
    floor (0.631244659423828 × 131072)
    floor (82738.5)     		ty = 82738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79568 / 82738 ti = "17/79568/82738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79568/82738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79568 ÷ 217
    79568 ÷ 131072     		x = 0.6070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82738 ÷ 217
    82738 ÷ 131072     		y = 0.631240844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6070556640625 × 2 - 1) × π
    0.214111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67265058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631240844726562 × 2 - 1) × π
    -0.262481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.824610547264206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67265058} λ = 0.67265058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824610547264206))-π/2
    2×atan(0.438405697520303)-π/2
    2×0.41317038072449-π/2
    0.826340761448979-1.57079632675     		φ = -0.74445557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67265058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.540039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74445557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.654162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79568 KachelY 82738 0.67265058 -0.74445557 38.540039 -42.654162
    Oben rechts KachelX + 1 79569 KachelY 82738 0.67269851 -0.74445557 38.542786 -42.654162
    Unten links KachelX 79568 KachelY + 1 82739 0.67265058 -0.74449082 38.540039 -42.656182
    Unten rechts KachelX + 1 79569 KachelY + 1 82739 0.67269851 -0.74449082 38.542786 -42.656182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74445557--0.74449082) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dl = 224.577750000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74445557--0.74449082) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dr = 224.577750000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67265058-0.67269851) × cos(-0.74445557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73545690161437 × 6371000     		do = 224.580612454612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67265058-0.67269851) × cos(-0.74449082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.735433016761859 × 6371000     		du = 224.573318927563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74445557)-sin(-0.74449082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73545690161437-0.735433016761859)×R²
    abs(0.67269851-0.67265058)×2.38848525103696e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38848525103696e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38848525103696e-05×40589641000000     		ar = 50434.9896619903m²