Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79567 / 82799
↖ ↑ ↗
← S 42.777259°
E 38.537293°		 ← 224.18 m → S 42.777259°
E 38.540039°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
S 42.779276°
E 38.537293°		 ← 224.18 m →
50 260 m²		 S 42.779276°
E 38.540039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607051849365234 y=0.631710052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607051849365234 × 217)
    floor (0.607051849365234 × 131072)
    floor (79567.5)     		tx = 79567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631710052490234 × 217)
    floor (0.631710052490234 × 131072)
    floor (82799.5)     		ty = 82799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79567 / 82799 ti = "17/79567/82799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79567/82799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79567 ÷ 217
    79567 ÷ 131072     		x = 0.607048034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82799 ÷ 217
    82799 ÷ 131072     		y = 0.631706237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607048034667969 × 2 - 1) × π
    0.214096069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.67260264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631706237792969 × 2 - 1) × π
    -0.263412475585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.827534698141029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67260264} λ = 0.67260264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827534698141029))-π/2
    2×atan(0.437125605618559)-π/2
    2×0.412096152622594-π/2
    0.824192305245187-1.57079632675     		φ = -0.74660402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67260264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.537293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74660402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.777259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79567 KachelY 82799 0.67260264 -0.74660402 38.537293 -42.777259
    Oben rechts KachelX + 1 79568 KachelY 82799 0.67265058 -0.74660402 38.540039 -42.777259
    Unten links KachelX 79567 KachelY + 1 82800 0.67260264 -0.74663921 38.537293 -42.779276
    Unten rechts KachelX + 1 79568 KachelY + 1 82800 0.67265058 -0.74663921 38.540039 -42.779276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74660402--0.74663921) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dl = 224.195489999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74660402--0.74663921) × R
    3.51899999999628e-05 × 6371000     		dr = 224.195489999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67260264-0.67265058) × cos(-0.74660402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733999476857923 × 6371000     		do = 224.182333378797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67260264-0.67265058) × cos(-0.74663921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733975577113781 × 6371000     		du = 224.175033781756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74660402)-sin(-0.74663921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733999476857923-0.733975577113781)×R²
    abs(0.67265058-0.67260264)×2.38997441421862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38997441421862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38997441421862e-05×40589641000000     		ar = 50259.8498179949m²