Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79561 / 82761
↖ ↑ ↗
← S 42.700604°
E 38.520813°		 ← 224.41 m → S 42.700604°
E 38.523559°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 42.702623°
E 38.520813°		 ← 224.41 m →
50 369 m²		 S 42.702623°
E 38.523559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607006072998047 y=0.631420135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607006072998047 × 217)
    floor (0.607006072998047 × 131072)
    floor (79561.5)     		tx = 79561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631420135498047 × 217)
    floor (0.631420135498047 × 131072)
    floor (82761.5)     		ty = 82761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79561 / 82761 ti = "17/79561/82761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79561/82761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79561 ÷ 217
    79561 ÷ 131072     		x = 0.607002258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82761 ÷ 217
    82761 ÷ 131072     		y = 0.631416320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607002258300781 × 2 - 1) × π
    0.214004516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.67231502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631416320800781 × 2 - 1) × π
    -0.262832641601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.825713095955467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67231502} λ = 0.67231502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825713095955467))-π/2
    2×atan(0.437922600260325)-π/2
    2×0.412765093649813-π/2
    0.825530187299626-1.57079632675     		φ = -0.74526614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67231502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.520813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74526614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.700604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79561 KachelY 82761 0.67231502 -0.74526614 38.520813 -42.700604
    Oben rechts KachelX + 1 79562 KachelY 82761 0.67236295 -0.74526614 38.523559 -42.700604
    Unten links KachelX 79561 KachelY + 1 82762 0.67231502 -0.74530137 38.520813 -42.702623
    Unten rechts KachelX + 1 79562 KachelY + 1 82762 0.67236295 -0.74530137 38.523559 -42.702623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74526614--0.74530137) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74526614--0.74530137) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67231502-0.67236295) × cos(-0.74526614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734907440932515 × 6371000     		do = 224.412828025395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67231502-0.67236295) × cos(-0.74530137) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734883548638151 × 6371000     		du = 224.405532225887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74526614)-sin(-0.74530137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734907440932515-0.734883548638151)×R²
    abs(0.67236295-0.67231502)×2.38922943643916e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38922943643916e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38922943643916e-05×40589641000000     		ar = 50368.7145393743m²