Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79560 / 82856
↖ ↑ ↗
← S 42.892064°
E 38.518066°		 ← 223.77 m → S 42.892064°
E 38.520813°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
S 42.894076°
E 38.518066°		 ← 223.76 m →
50 067 m²		 S 42.894076°
E 38.520813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606998443603516 y=0.632144927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606998443603516 × 217)
    floor (0.606998443603516 × 131072)
    floor (79560.5)     		tx = 79560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632144927978516 × 217)
    floor (0.632144927978516 × 131072)
    floor (82856.5)     		ty = 82856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79560 / 82856 ti = "17/79560/82856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79560/82856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79560 ÷ 217
    79560 ÷ 131072     		x = 0.60699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82856 ÷ 217
    82856 ÷ 131072     		y = 0.63214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60699462890625 × 2 - 1) × π
    0.2139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67226708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.830267101419373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67226708} λ = 0.67226708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830267101419373))-π/2
    2×atan(0.435932832491427)-π/2
    2×0.411094291876827-π/2
    0.822188583753654-1.57079632675     		φ = -0.74860774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67226708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.518066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74860774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.892064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79560 KachelY 82856 0.67226708 -0.74860774 38.518066 -42.892064
    Oben rechts KachelX + 1 79561 KachelY 82856 0.67231502 -0.74860774 38.520813 -42.892064
    Unten links KachelX 79560 KachelY + 1 82857 0.67226708 -0.74864286 38.518066 -42.894076
    Unten rechts KachelX + 1 79561 KachelY + 1 82857 0.67231502 -0.74864286 38.520813 -42.894076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74860774--0.74864286) × R
    3.51200000000551e-05 × 6371000     		dl = 223.749520000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74860774--0.74864286) × R
    3.51200000000551e-05 × 6371000     		dr = 223.749520000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67226708-0.67231502) × cos(-0.74860774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732637177798944 × 6371000     		do = 223.766252180607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67226708-0.67231502) × cos(-0.74864286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732613273993848 × 6371000     		du = 223.758951343247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74860774)-sin(-0.74864286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732637177798944-0.732613273993848)×R²
    abs(0.67231502-0.67226708)×2.39038050955376e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39038050955376e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39038050955376e-05×40589641000000     		ar = 50066.7747435637m²