Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79559 / 82758
↖ ↑ ↗
← S 42.694549°
E 38.515320°		 ← 224.48 m → S 42.694549°
E 38.518066°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 42.696567°
E 38.515320°		 ← 224.47 m →
50 384 m²		 S 42.696567°
E 38.518066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606990814208984 y=0.631397247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606990814208984 × 217)
    floor (0.606990814208984 × 131072)
    floor (79559.5)     		tx = 79559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631397247314453 × 217)
    floor (0.631397247314453 × 131072)
    floor (82758.5)     		ty = 82758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79559 / 82758 ti = "17/79559/82758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79559/82758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79559 ÷ 217
    79559 ÷ 131072     		x = 0.606986999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82758 ÷ 217
    82758 ÷ 131072     		y = 0.631393432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606986999511719 × 2 - 1) × π
    0.213973999023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.67221914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631393432617188 × 2 - 1) × π
    -0.262786865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.825569285256607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67221914} λ = 0.67221914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825569285256607))-π/2
    2×atan(0.437985582744184)-π/2
    2×0.412817940003029-π/2
    0.825635880006057-1.57079632675     		φ = -0.74516045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67221914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.515320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74516045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.694549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79559 KachelY 82758 0.67221914 -0.74516045 38.515320 -42.694549
    Oben rechts KachelX + 1 79560 KachelY 82758 0.67226708 -0.74516045 38.518066 -42.694549
    Unten links KachelX 79559 KachelY + 1 82759 0.67221914 -0.74519568 38.515320 -42.696567
    Unten rechts KachelX + 1 79560 KachelY + 1 82759 0.67226708 -0.74519568 38.518066 -42.696567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74516045--0.74519568) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dl = 224.450330000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74516045--0.74519568) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dr = 224.450330000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67221914-0.67226708) × cos(-0.74516045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734979112342695 × 6371000     		do = 224.481539271663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67221914-0.67226708) × cos(-0.74519568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734955222784817 × 6371000     		du = 224.47424278577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74516045)-sin(-0.74519568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734979112342695-0.734955222784817)×R²
    abs(0.67226708-0.67221914)×2.38895578779097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38895578779097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38895578779097e-05×40589641000000     		ar = 50384.1367242015m²