Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79558 / 82768
↖ ↑ ↗
← S 42.714732°
E 38.512573°		 ← 224.36 m → S 42.714732°
E 38.515320°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 42.716750°
E 38.512573°		 ← 224.35 m →
50 343 m²		 S 42.716750°
E 38.515320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606983184814453 y=0.631473541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606983184814453 × 217)
    floor (0.606983184814453 × 131072)
    floor (79558.5)     		tx = 79558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631473541259766 × 217)
    floor (0.631473541259766 × 131072)
    floor (82768.5)     		ty = 82768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79558 / 82768 ti = "17/79558/82768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79558/82768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79558 ÷ 217
    79558 ÷ 131072     		x = 0.606979370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82768 ÷ 217
    82768 ÷ 131072     		y = 0.6314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606979370117188 × 2 - 1) × π
    0.213958740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67217121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.262939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.826048654252808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67217121} λ = 0.67217121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826048654252808))-π/2
    2×atan(0.437775676350362)-π/2
    2×0.412641805534758-π/2
    0.825283611069516-1.57079632675     		φ = -0.74551272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67217121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.512573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74551272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.714732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79558 KachelY 82768 0.67217121 -0.74551272 38.512573 -42.714732
    Oben rechts KachelX + 1 79559 KachelY 82768 0.67221914 -0.74551272 38.515320 -42.714732
    Unten links KachelX 79558 KachelY + 1 82769 0.67217121 -0.74554794 38.512573 -42.716750
    Unten rechts KachelX + 1 79559 KachelY + 1 82769 0.67221914 -0.74554794 38.515320 -42.716750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74551272--0.74554794) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74551272--0.74554794) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67217121-0.67221914) × cos(-0.74551272) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734740196069302 × 6371000     		do = 224.361757794457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67217121-0.67221914) × cos(-0.74554794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734716304175362 × 6371000     		du = 224.354462117223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74551272)-sin(-0.74554794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734740196069302-0.734716304175362)×R²
    abs(0.67221914-0.67217121)×2.38918939399202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38918939399202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38918939399202e-05×40589641000000     		ar = 50342.9579677216m²