Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79557 / 82756
↖ ↑ ↗
← S 42.690511°
E 38.509827°		 ← 224.50 m → S 42.690511°
E 38.512573°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 42.692530°
E 38.509827°		 ← 224.49 m →
50 387 m²		 S 42.692530°
E 38.512573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606975555419922 y=0.631381988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606975555419922 × 217)
    floor (0.606975555419922 × 131072)
    floor (79557.5)     		tx = 79557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631381988525391 × 217)
    floor (0.631381988525391 × 131072)
    floor (82756.5)     		ty = 82756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79557 / 82756 ti = "17/79557/82756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79557/82756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79557 ÷ 217
    79557 ÷ 131072     		x = 0.606971740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82756 ÷ 217
    82756 ÷ 131072     		y = 0.631378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606971740722656 × 2 - 1) × π
    0.213943481445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.67212327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.26275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.825473411457367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67212327} λ = 0.67212327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825473411457367))-π/2
    2×atan(0.438027576099013)-π/2
    2×0.412853173768315-π/2
    0.825706347536629-1.57079632675     		φ = -0.74508998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67212327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.509827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74508998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.690511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79557 KachelY 82756 0.67212327 -0.74508998 38.509827 -42.690511
    Oben rechts KachelX + 1 79558 KachelY 82756 0.67217121 -0.74508998 38.512573 -42.690511
    Unten links KachelX 79557 KachelY + 1 82757 0.67212327 -0.74512521 38.509827 -42.692530
    Unten rechts KachelX + 1 79558 KachelY + 1 82757 0.67217121 -0.74512521 38.512573 -42.692530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74508998--0.74512521) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74508998--0.74512521) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67212327-0.67217121) × cos(-0.74508998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735026895502136 × 6371000     		do = 224.496133478495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67212327-0.67217121) × cos(-0.74512521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735003007768989 × 6371000     		du = 224.488837549922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74508998)-sin(-0.74512521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735026895502136-0.735003007768989)×R²
    abs(0.67217121-0.67212327)×2.38877331463216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38877331463216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38877331463216e-05×40589641000000     		ar = 50387.4124612626m²