Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79555 / 82757
↖ ↑ ↗
← S 42.692530°
E 38.504334°		 ← 224.44 m → S 42.692530°
E 38.507080°		 →
↑
224.51 m
↓
↑
224.51 m
↓
S 42.694549°
E 38.504334°		 ← 224.43 m →
50 390 m²		 S 42.694549°
E 38.507080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606960296630859 y=0.631389617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606960296630859 × 217)
    floor (0.606960296630859 × 131072)
    floor (79555.5)     		tx = 79555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631389617919922 × 217)
    floor (0.631389617919922 × 131072)
    floor (82757.5)     		ty = 82757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79555 / 82757 ti = "17/79555/82757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79555/82757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79555 ÷ 217
    79555 ÷ 131072     		x = 0.606956481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82757 ÷ 217
    82757 ÷ 131072     		y = 0.631385803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606956481933594 × 2 - 1) × π
    0.213912963867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.67202740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631385803222656 × 2 - 1) × π
    -0.262771606445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.825521348356987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67202740} λ = 0.67202740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825521348356987))-π/2
    2×atan(0.438006578918341)-π/2
    2×0.41283555659936-π/2
    0.825671113198719-1.57079632675     		φ = -0.74512521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67202740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.504334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74512521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.692530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79555 KachelY 82757 0.67202740 -0.74512521 38.504334 -42.692530
    Oben rechts KachelX + 1 79556 KachelY 82757 0.67207533 -0.74512521 38.507080 -42.692530
    Unten links KachelX 79555 KachelY + 1 82758 0.67202740 -0.74516045 38.504334 -42.694549
    Unten rechts KachelX + 1 79556 KachelY + 1 82758 0.67207533 -0.74516045 38.507080 -42.694549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74512521--0.74516045) × R
    3.52399999999919e-05 × 6371000     		dl = 224.514039999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74512521--0.74516045) × R
    3.52399999999919e-05 × 6371000     		dr = 224.514039999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67202740-0.67207533) × cos(-0.74512521) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.735003007768989 × 6371000     		do = 224.442010508062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67202740-0.67207533) × cos(-0.74516045) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.734979112342695 × 6371000     		du = 224.434713752181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74512521)-sin(-0.74516045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735003007768989-0.734979112342695)×R²
    abs(0.67207533-0.67202740)×2.38954262948843e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38954262948843e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38954262948843e-05×40589641000000     		ar = 50389.5634182206m²