Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79536 / 19120
↖ ↑ ↗
← N 77.664737°
E 38.452148°		 ← 65.25 m → N 77.664737°
E 38.454895°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.664151°
E 38.452148°		 ← 65.25 m →
4 257 m²		 N 77.664151°
E 38.454895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606815338134766 y=0.145877838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606815338134766 × 217)
    floor (0.606815338134766 × 131072)
    floor (79536.5)     		tx = 79536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145877838134766 × 217)
    floor (0.145877838134766 × 131072)
    floor (19120.5)     		ty = 19120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79536 / 19120 ti = "17/79536/19120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79536/19120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79536 ÷ 217
    79536 ÷ 131072     		x = 0.6068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19120 ÷ 217
    19120 ÷ 131072     		y = 0.1458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6068115234375 × 2 - 1) × π
    0.213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67111659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1458740234375 × 2 - 1) × π
    0.708251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22503913276453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67111659} λ = 0.67111659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22503913276453))-π/2
    2×atan(9.25384492535587)-π/2
    2×1.46315085563-π/2
    2.92630171125999-1.57079632675     		φ = 1.35550538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67111659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.452148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35550538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.664737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79536 KachelY 19120 0.67111659 1.35550538 38.452148 77.664737
    Oben rechts KachelX + 1 79537 KachelY 19120 0.67116453 1.35550538 38.454895 77.664737
    Unten links KachelX 79536 KachelY + 1 19121 0.67111659 1.35549514 38.452148 77.664151
    Unten rechts KachelX + 1 79537 KachelY + 1 19121 0.67116453 1.35549514 38.454895 77.664151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35550538-1.35549514) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dl = 65.2390400010272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35550538-1.35549514) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dr = 65.2390400010272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67111659-0.67116453) × cos(1.35550538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213631667417422 × 6371000     		do = 65.2486101083573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67111659-0.67116453) × cos(1.35549514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21364167100845 × 6371000     		du = 65.2516654625496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35550538)-sin(1.35549514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213631667417422-0.21364167100845)×R²
    abs(0.67116453-0.67111659)×1.00035910278184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00035910278184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00035910278184e-05×40589641000000     		ar = 4256.85634906548m²