Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79522 / 82786
↖ ↑ ↗
← S 42.751046°
E 38.413696°		 ← 224.23 m → S 42.751046°
E 38.416443°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
S 42.753063°
E 38.413696°		 ← 224.22 m →
50 285 m²		 S 42.753063°
E 38.416443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606708526611328 y=0.631610870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606708526611328 × 217)
    floor (0.606708526611328 × 131072)
    floor (79522.5)     		tx = 79522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631610870361328 × 217)
    floor (0.631610870361328 × 131072)
    floor (82786.5)     		ty = 82786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79522 / 82786 ti = "17/79522/82786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79522/82786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79522 ÷ 217
    79522 ÷ 131072     		x = 0.606704711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82786 ÷ 217
    82786 ÷ 131072     		y = 0.631607055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606704711914062 × 2 - 1) × π
    0.213409423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67044548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631607055664062 × 2 - 1) × π
    -0.263214111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.826911518445969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67044548} λ = 0.67044548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826911518445969))-π/2
    2×atan(0.437398098317311)-π/2
    2×0.41232490780427-π/2
    0.824649815608539-1.57079632675     		φ = -0.74614651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67044548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.413696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74614651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.751046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79522 KachelY 82786 0.67044548 -0.74614651 38.413696 -42.751046
    Oben rechts KachelX + 1 79523 KachelY 82786 0.67049341 -0.74614651 38.416443 -42.751046
    Unten links KachelX 79522 KachelY + 1 82787 0.67044548 -0.74618171 38.413696 -42.753063
    Unten rechts KachelX + 1 79523 KachelY + 1 82787 0.67049341 -0.74618171 38.416443 -42.753063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74614651--0.74618171) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dl = 224.259200000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74614651--0.74618171) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dr = 224.259200000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67044548-0.67049341) × cos(-0.74614651) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.734310117960204 × 6371000     		do = 224.230428269485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67044548-0.67049341) × cos(-0.74618171) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.734286223247198 × 6371000     		du = 224.223131731415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74614651)-sin(-0.74618171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734310117960204-0.734286223247198)×R²
    abs(0.67049341-0.67044548)×2.38947130057898e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38947130057898e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38947130057898e-05×40589641000000     		ar = 50284.9183067298m²