Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79510 / 82774
↖ ↑ ↗
← S 42.726839°
E 38.380738°		 ← 224.32 m → S 42.726839°
E 38.383484°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 42.728857°
E 38.380738°		 ← 224.31 m →
50 333 m²		 S 42.728857°
E 38.383484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606616973876953 y=0.631519317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606616973876953 × 217)
    floor (0.606616973876953 × 131072)
    floor (79510.5)     		tx = 79510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631519317626953 × 217)
    floor (0.631519317626953 × 131072)
    floor (82774.5)     		ty = 82774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79510 / 82774 ti = "17/79510/82774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79510/82774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79510 ÷ 217
    79510 ÷ 131072     		x = 0.606613159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82774 ÷ 217
    82774 ÷ 131072     		y = 0.631515502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606613159179688 × 2 - 1) × π
    0.213226318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66987024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631515502929688 × 2 - 1) × π
    -0.263031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826336275650528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66987024} λ = 0.66987024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826336275650528))-π/2
    2×atan(0.437649780804436)-π/2
    2×0.412536152341254-π/2
    0.825072304682508-1.57079632675     		φ = -0.74572402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66987024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.380738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74572402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.726839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79510 KachelY 82774 0.66987024 -0.74572402 38.380738 -42.726839
    Oben rechts KachelX + 1 79511 KachelY 82774 0.66991817 -0.74572402 38.383484 -42.726839
    Unten links KachelX 79510 KachelY + 1 82775 0.66987024 -0.74575924 38.380738 -42.728857
    Unten rechts KachelX + 1 79511 KachelY + 1 82775 0.66991817 -0.74575924 38.383484 -42.728857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74572402--0.74575924) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74572402--0.74575924) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66987024-0.66991817) × cos(-0.74572402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734596844605667 × 6371000     		do = 224.317983700518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66987024-0.66991817) × cos(-0.74575924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734572947244423 × 6371000     		du = 224.310686353777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74572402)-sin(-0.74575924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734596844605667-0.734572947244423)×R²
    abs(0.66991817-0.66987024)×2.38973612438631e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38973612438631e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38973612438631e-05×40589641000000     		ar = 50333.1354594367m²