Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7951 / 5871
↖ ↑ ↗
← N 74.824810°
W 92.647705°		 ← 319.79 m → N 74.824810°
W 92.636719°		 →
↑
319.82 m
↓
↑
319.82 m
↓
N 74.821934°
W 92.647705°		 ← 319.85 m →
102 286 m²		 N 74.821934°
W 92.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242660522460938 y=0.179183959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242660522460938 × 215)
    floor (0.242660522460938 × 32768)
    floor (7951.5)     		tx = 7951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179183959960938 × 215)
    floor (0.179183959960938 × 32768)
    floor (5871.5)     		ty = 5871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7951 / 5871 ti = "15/7951/5871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7951/5871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7951 ÷ 215
    7951 ÷ 32768     		x = 0.242645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5871 ÷ 215
    5871 ÷ 32768     		y = 0.179168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.51470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61700750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179168701171875 × 2 - 1) × π
    0.64166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.0158425028226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61700750} λ = -1.61700750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0158425028226))-π/2
    2×atan(7.50704942799037)-π/2
    2×1.43836781500082-π/2
    2.87673563000163-1.57079632675     		φ = 1.30593930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61700750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.647705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30593930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.824810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7951 KachelY 5871 -1.61700750 1.30593930 -92.647705 74.824810
    Oben rechts KachelX + 1 7952 KachelY 5871 -1.61681575 1.30593930 -92.636719 74.824810
    Unten links KachelX 7951 KachelY + 1 5872 -1.61700750 1.30588910 -92.647705 74.821934
    Unten rechts KachelX + 1 7952 KachelY + 1 5872 -1.61681575 1.30588910 -92.636719 74.821934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30593930-1.30588910) × R
    5.02000000000002e-05 × 6371000     		dl = 319.824200000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30593930-1.30588910) × R
    5.02000000000002e-05 × 6371000     		dr = 319.824200000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61700750--1.61681575) × cos(1.30593930) × R
    0.000191749999999935 × 0.261771283105035 × 6371000     		do = 319.790073963864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61700750--1.61681575) × cos(1.30588910) × R
    0.000191749999999935 × 0.261819732298016 × 6371000     		du = 319.84926139964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30593930)-sin(1.30588910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.261771283105035-0.261819732298016)×R²
    abs(-1.61681575--1.61700750)×4.84491929812481e-05×R²
    0.000191749999999935×4.84491929812481e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.84491929812481e-05×40589641000000     		ar = 102286.069382566m²