Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79502 / 82774
↖ ↑ ↗
← S 42.726839°
E 38.358765°		 ← 224.36 m → S 42.726839°
E 38.361511°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 42.728857°
E 38.358765°		 ← 224.36 m →
50 344 m²		 S 42.728857°
E 38.361511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606555938720703 y=0.631519317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606555938720703 × 217)
    floor (0.606555938720703 × 131072)
    floor (79502.5)     		tx = 79502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631519317626953 × 217)
    floor (0.631519317626953 × 131072)
    floor (82774.5)     		ty = 82774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79502 / 82774 ti = "17/79502/82774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79502/82774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79502 ÷ 217
    79502 ÷ 131072     		x = 0.606552124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82774 ÷ 217
    82774 ÷ 131072     		y = 0.631515502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606552124023438 × 2 - 1) × π
    0.213104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66948674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631515502929688 × 2 - 1) × π
    -0.263031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826336275650528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66948674} λ = 0.66948674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826336275650528))-π/2
    2×atan(0.437649780804436)-π/2
    2×0.412536152341254-π/2
    0.825072304682508-1.57079632675     		φ = -0.74572402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66948674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.358765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74572402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.726839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79502 KachelY 82774 0.66948674 -0.74572402 38.358765 -42.726839
    Oben rechts KachelX + 1 79503 KachelY 82774 0.66953468 -0.74572402 38.361511 -42.726839
    Unten links KachelX 79502 KachelY + 1 82775 0.66948674 -0.74575924 38.358765 -42.728857
    Unten rechts KachelX + 1 79503 KachelY + 1 82775 0.66953468 -0.74575924 38.361511 -42.728857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74572402--0.74575924) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74572402--0.74575924) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66948674-0.66953468) × cos(-0.74572402) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734596844605667 × 6371000     		do = 224.364784865723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66948674-0.66953468) × cos(-0.74575924) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734572947244423 × 6371000     		du = 224.357485996481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74572402)-sin(-0.74575924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734596844605667-0.734572947244423)×R²
    abs(0.66953468-0.66948674)×2.38973612438631e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38973612438631e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38973612438631e-05×40589641000000     		ar = 50343.6368438958m²