Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79501 / 82765
↖ ↑ ↗
← S 42.708678°
E 38.356018°		 ← 224.43 m → S 42.708678°
E 38.358765°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 42.710696°
E 38.356018°		 ← 224.42 m →
50 358 m²		 S 42.710696°
E 38.358765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606548309326172 y=0.631450653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606548309326172 × 217)
    floor (0.606548309326172 × 131072)
    floor (79501.5)     		tx = 79501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631450653076172 × 217)
    floor (0.631450653076172 × 131072)
    floor (82765.5)     		ty = 82765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79501 / 82765 ti = "17/79501/82765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79501/82765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79501 ÷ 217
    79501 ÷ 131072     		x = 0.606544494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82765 ÷ 217
    82765 ÷ 131072     		y = 0.631446838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606544494628906 × 2 - 1) × π
    0.213088989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.66943880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631446838378906 × 2 - 1) × π
    -0.262893676757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.825904843553947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66943880} λ = 0.66943880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825904843553947))-π/2
    2×atan(0.437838637703471)-π/2
    2×0.412694639862459-π/2
    0.825389279724918-1.57079632675     		φ = -0.74540705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66943880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.356018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74540705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.708678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79501 KachelY 82765 0.66943880 -0.74540705 38.356018 -42.708678
    Oben rechts KachelX + 1 79502 KachelY 82765 0.66948674 -0.74540705 38.358765 -42.708678
    Unten links KachelX 79501 KachelY + 1 82766 0.66943880 -0.74544227 38.356018 -42.710696
    Unten rechts KachelX + 1 79502 KachelY + 1 82766 0.66948674 -0.74544227 38.358765 -42.710696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74540705--0.74544227) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74540705--0.74544227) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66943880-0.66948674) × cos(-0.74540705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734811873065269 × 6371000     		do = 224.430460091599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66943880-0.66948674) × cos(-0.74544227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734787983905899 × 6371000     		du = 224.42316372742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74540705)-sin(-0.74544227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734811873065269-0.734787983905899)×R²
    abs(0.66948674-0.66943880)×2.38891593703494e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38891593703494e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38891593703494e-05×40589641000000     		ar = 50358.3737670692m²