Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7950 / 5870
↖ ↑ ↗
← N 74.827686°
W 92.658692°		 ← 319.73 m → N 74.827686°
W 92.647705°		 →
↑
319.76 m
↓
↑
319.76 m
↓
N 74.824810°
W 92.658692°		 ← 319.79 m →
102 247 m²		 N 74.824810°
W 92.647705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242630004882812 y=0.179153442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242630004882812 × 215)
    floor (0.242630004882812 × 32768)
    floor (7950.5)     		tx = 7950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179153442382812 × 215)
    floor (0.179153442382812 × 32768)
    floor (5870.5)     		ty = 5870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7950 / 5870 ti = "15/7950/5870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7950/5870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7950 ÷ 215
    7950 ÷ 32768     		x = 0.24261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5870 ÷ 215
    5870 ÷ 32768     		y = 0.17913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.5147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.61719925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17913818359375 × 2 - 1) × π
    0.6417236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01603425042108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61719925} λ = -1.61719925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01603425042108))-π/2
    2×atan(7.50848902470505)-π/2
    2×1.43839290968585-π/2
    2.87678581937171-1.57079632675     		φ = 1.30598949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61719925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.658692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30598949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.827686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7950 KachelY 5870 -1.61719925 1.30598949 -92.658692 74.827686
    Oben rechts KachelX + 1 7951 KachelY 5870 -1.61700750 1.30598949 -92.647705 74.827686
    Unten links KachelX 7950 KachelY + 1 5871 -1.61719925 1.30593930 -92.658692 74.824810
    Unten rechts KachelX + 1 7951 KachelY + 1 5871 -1.61700750 1.30593930 -92.647705 74.824810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30598949-1.30593930) × R
    5.0190000000061e-05 × 6371000     		dl = 319.760490000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30598949-1.30593930) × R
    5.0190000000061e-05 × 6371000     		dr = 319.760490000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61719925--1.61700750) × cos(1.30598949) × R
    0.000191750000000157 × 0.26172284290381 × 6371000     		do = 319.73089751314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61719925--1.61700750) × cos(1.30593930) × R
    0.000191750000000157 × 0.261771283105035 × 6371000     		du = 319.790073964234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30598949)-sin(1.30593930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.26172284290381-0.261771283105035)×R²
    abs(-1.61700750--1.61719925)×4.8440201224631e-05×R²
    0.000191750000000157×4.8440201224631e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.8440201224631e-05×40589641000000     		ar = 102246.769624164m²