Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 795 / 819
↖ ↑ ↗
← N 33.870416°
W 40.253906°		 ← 16.229 km → N 33.870416°
W 40.078125°		 →
↑
16.243 km
↓
↑
16.243 km
↓
N 33.724340°
W 40.253906°		 ← 16.257 km →
263.831 km²		 N 33.724340°
W 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388427734375 y=0.400146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388427734375 × 211)
    floor (0.388427734375 × 2048)
    floor (795.5)     		tx = 795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400146484375 × 211)
    floor (0.400146484375 × 2048)
    floor (819.5)     		ty = 819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 795 / 819 ti = "11/795/819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/795/819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 795 ÷ 211
    795 ÷ 2048     		x = 0.38818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 819 ÷ 211
    819 ÷ 2048     		y = 0.39990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38818359375 × 2 - 1) × π
    -0.2236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.70256320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39990234375 × 2 - 1) × π
    0.2001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.628932123015137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70256320} λ = -0.70256320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.628932123015137))-π/2
    2×atan(1.87560659233641)-π/2
    2×1.0809732985813-π/2
    2.1619465971626-1.57079632675     		φ = 0.59115027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70256320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.253906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59115027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.870416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 795 KachelY 819 -0.70256320 0.59115027 -40.253906 33.870416
    Oben rechts KachelX + 1 796 KachelY 819 -0.69949524 0.59115027 -40.078125 33.870416
    Unten links KachelX 795 KachelY + 1 820 -0.70256320 0.58860077 -40.253906 33.724340
    Unten rechts KachelX + 1 796 KachelY + 1 820 -0.69949524 0.58860077 -40.078125 33.724340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59115027-0.58860077) × R
    0.00254949999999998 × 6371000     		dl = 16242.8644999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59115027-0.58860077) × R
    0.00254949999999998 × 6371000     		dr = 16242.8644999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70256320--0.69949524) × cos(0.59115027) × R
    0.00306796000000009 × 0.830300164129962 × 6371000     		do = 16229.0247228283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70256320--0.69949524) × cos(0.58860077) × R
    0.00306796000000009 × 0.831718342454006 × 6371000     		du = 16256.7443982862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59115027)-sin(0.58860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830300164129962-0.831718342454006)×R²
    abs(-0.69949524--0.70256320)×0.00141817832404378×R²
    0.00306796000000009×0.00141817832404378×6371000²
    0.00306796000000009×0.00141817832404378×40589641000000     		ar = 263831115.913716m²