Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79492 / 82762
↖ ↑ ↗
← S 42.702623°
E 38.331299°		 ← 224.45 m → S 42.702623°
E 38.334046°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 42.704641°
E 38.331299°		 ← 224.45 m →
50 378 m²		 S 42.704641°
E 38.334046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606479644775391 y=0.631427764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606479644775391 × 217)
    floor (0.606479644775391 × 131072)
    floor (79492.5)     		tx = 79492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631427764892578 × 217)
    floor (0.631427764892578 × 131072)
    floor (82762.5)     		ty = 82762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79492 / 82762 ti = "17/79492/82762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79492/82762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79492 ÷ 217
    79492 ÷ 131072     		x = 0.606475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82762 ÷ 217
    82762 ÷ 131072     		y = 0.631423950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606475830078125 × 2 - 1) × π
    0.21295166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66900737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631423950195312 × 2 - 1) × π
    -0.262847900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.825761032855087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66900737} λ = 0.66900737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825761032855087))-π/2
    2×atan(0.437901608111748)-π/2
    2×0.412747479344011-π/2
    0.825494958688021-1.57079632675     		φ = -0.74530137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66900737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.331299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74530137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.702623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79492 KachelY 82762 0.66900737 -0.74530137 38.331299 -42.702623
    Oben rechts KachelX + 1 79493 KachelY 82762 0.66905531 -0.74530137 38.334046 -42.702623
    Unten links KachelX 79492 KachelY + 1 82763 0.66900737 -0.74533660 38.331299 -42.704641
    Unten rechts KachelX + 1 79493 KachelY + 1 82763 0.66905531 -0.74533660 38.334046 -42.704641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74530137--0.74533660) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dl = 224.450330000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74530137--0.74533660) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dr = 224.450330000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66900737-0.66905531) × cos(-0.74530137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734883548638151 × 6371000     		do = 224.452351656486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66900737-0.66905531) × cos(-0.74533660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734859655431684 × 6371000     		du = 224.44505405622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74530137)-sin(-0.74533660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734883548638151-0.734859655431684)×R²
    abs(0.66905531-0.66900737)×2.38932064672293e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38932064672293e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38932064672293e-05×40589641000000     		ar = 50377.5854293881m²