Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79491 / 19329
↖ ↑ ↗
← N 77.541503°
E 38.328552°		 ← 65.89 m → N 77.541503°
E 38.331299°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.540911°
E 38.328552°		 ← 65.89 m →
4 341 m²		 N 77.540911°
E 38.331299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606472015380859 y=0.147472381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606472015380859 × 217)
    floor (0.606472015380859 × 131072)
    floor (79491.5)     		tx = 79491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147472381591797 × 217)
    floor (0.147472381591797 × 131072)
    floor (19329.5)     		ty = 19329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79491 / 19329 ti = "17/79491/19329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79491/19329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79491 ÷ 217
    79491 ÷ 131072     		x = 0.606468200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19329 ÷ 217
    19329 ÷ 131072     		y = 0.147468566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606468200683594 × 2 - 1) × π
    0.212936401367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.66895943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147468566894531 × 2 - 1) × π
    0.705062866210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21502032074393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66895943} λ = 0.66895943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21502032074393))-π/2
    2×atan(9.16159528014898)-π/2
    2×1.46207543444778-π/2
    2.92415086889556-1.57079632675     		φ = 1.35335454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66895943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.328552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35335454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.541503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79491 KachelY 19329 0.66895943 1.35335454 38.328552 77.541503
    Oben rechts KachelX + 1 79492 KachelY 19329 0.66900737 1.35335454 38.331299 77.541503
    Unten links KachelX 79491 KachelY + 1 19330 0.66895943 1.35334420 38.328552 77.540911
    Unten rechts KachelX + 1 79492 KachelY + 1 19330 0.66900737 1.35334420 38.331299 77.540911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35335454-1.35334420) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35335454-1.35334420) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66895943-0.66900737) × cos(1.35335454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215732357965698 × 6371000     		do = 65.8902150735751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66895943-0.66900737) × cos(1.35334420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21574245447336 × 6371000     		du = 65.893298806899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35335454)-sin(1.35334420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215732357965698-0.21574245447336)×R²
    abs(0.66900737-0.66895943)×1.00965076612336e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00965076612336e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00965076612336e-05×40589641000000     		ar = 4340.69460509723m²