Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79489 / 19331
↖ ↑ ↗
← N 77.540318°
E 38.323059°		 ← 65.90 m → N 77.540318°
E 38.325806°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.539726°
E 38.323059°		 ← 65.90 m →
4 341 m²		 N 77.539726°
E 38.325806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606456756591797 y=0.147487640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606456756591797 × 217)
    floor (0.606456756591797 × 131072)
    floor (79489.5)     		tx = 79489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147487640380859 × 217)
    floor (0.147487640380859 × 131072)
    floor (19331.5)     		ty = 19331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79489 / 19331 ti = "17/79489/19331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79489/19331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79489 ÷ 217
    79489 ÷ 131072     		x = 0.606452941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19331 ÷ 217
    19331 ÷ 131072     		y = 0.147483825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606452941894531 × 2 - 1) × π
    0.212905883789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.66886356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147483825683594 × 2 - 1) × π
    0.705032348632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.21492444694469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66886356} λ = 0.66886356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21492444694469))-π/2
    2×atan(9.16071696530673)-π/2
    2×1.46206509242341-π/2
    2.92413018484681-1.57079632675     		φ = 1.35333386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66886356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.323059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35333386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.540318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79489 KachelY 19331 0.66886356 1.35333386 38.323059 77.540318
    Oben rechts KachelX + 1 79490 KachelY 19331 0.66891150 1.35333386 38.325806 77.540318
    Unten links KachelX 79489 KachelY + 1 19332 0.66886356 1.35332352 38.323059 77.539726
    Unten rechts KachelX + 1 79490 KachelY + 1 19332 0.66891150 1.35332352 38.325806 77.539726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35333386-1.35332352) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35333386-1.35332352) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66886356-0.66891150) × cos(1.35333386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215752550957955 × 6371000     		do = 65.8963825331778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66886356-0.66891150) × cos(1.35332352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215762647419482 × 6371000     		du = 65.8994662524113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35333386)-sin(1.35332352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215752550957955-0.215762647419482)×R²
    abs(0.66891150-0.66886356)×1.00964615276922e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00964615276922e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00964615276922e-05×40589641000000     		ar = 4341.10089309055m²