Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79486 / 82754
↖ ↑ ↗
← S 42.686474°
E 38.314819°		 ← 224.51 m → S 42.686474°
E 38.317566°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 42.688492°
E 38.314819°		 ← 224.50 m →
50 391 m²		 S 42.688492°
E 38.317566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606433868408203 y=0.631366729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606433868408203 × 217)
    floor (0.606433868408203 × 131072)
    floor (79486.5)     		tx = 79486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631366729736328 × 217)
    floor (0.631366729736328 × 131072)
    floor (82754.5)     		ty = 82754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79486 / 82754 ti = "17/79486/82754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79486/82754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79486 ÷ 217
    79486 ÷ 131072     		x = 0.606430053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82754 ÷ 217
    82754 ÷ 131072     		y = 0.631362915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606430053710938 × 2 - 1) × π
    0.212860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66871975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631362915039062 × 2 - 1) × π
    -0.262725830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.825377537658127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66871975} λ = 0.66871975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825377537658127))-π/2
    2×atan(0.438069573480098)-π/2
    2×0.412888409824084-π/2
    0.825776819648167-1.57079632675     		φ = -0.74501951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66871975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.314819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74501951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.686474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79486 KachelY 82754 0.66871975 -0.74501951 38.314819 -42.686474
    Oben rechts KachelX + 1 79487 KachelY 82754 0.66876769 -0.74501951 38.317566 -42.686474
    Unten links KachelX 79486 KachelY + 1 82755 0.66871975 -0.74505474 38.314819 -42.688492
    Unten rechts KachelX + 1 79487 KachelY + 1 82755 0.66876769 -0.74505474 38.317566 -42.688492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74501951--0.74505474) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dl = 224.450330000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74501951--0.74505474) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dr = 224.450330000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66871975-0.66876769) × cos(-0.74501951) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.735074675011418 × 6371000     		do = 224.510726570995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66871975-0.66876769) × cos(-0.74505474) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.735050789103122 × 6371000     		du = 224.503431199778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74501951)-sin(-0.74505474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735074675011418-0.735050789103122)×R²
    abs(0.66876769-0.66871975)×2.38859082962728e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38859082962728e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38859082962728e-05×40589641000000     		ar = 50390.6879482723m²