Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79484 / 82763
↖ ↑ ↗
← S 42.704641°
E 38.309326°		 ← 224.40 m → S 42.704641°
E 38.312073°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 42.706659°
E 38.309326°		 ← 224.39 m →
50 351 m²		 S 42.706659°
E 38.312073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606418609619141 y=0.631435394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606418609619141 × 217)
    floor (0.606418609619141 × 131072)
    floor (79484.5)     		tx = 79484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631435394287109 × 217)
    floor (0.631435394287109 × 131072)
    floor (82763.5)     		ty = 82763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79484 / 82763 ti = "17/79484/82763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79484/82763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79484 ÷ 217
    79484 ÷ 131072     		x = 0.606414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82763 ÷ 217
    82763 ÷ 131072     		y = 0.631431579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606414794921875 × 2 - 1) × π
    0.21282958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66862388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631431579589844 × 2 - 1) × π
    -0.262863159179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.825808969754707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66862388} λ = 0.66862388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825808969754707))-π/2
    2×atan(0.437880616969446)-π/2
    2×0.412729865610849-π/2
    0.825459731221698-1.57079632675     		φ = -0.74533660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66862388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.309326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74533660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.704641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79484 KachelY 82763 0.66862388 -0.74533660 38.309326 -42.704641
    Oben rechts KachelX + 1 79485 KachelY 82763 0.66867181 -0.74533660 38.312073 -42.704641
    Unten links KachelX 79484 KachelY + 1 82764 0.66862388 -0.74537182 38.309326 -42.706659
    Unten rechts KachelX + 1 79485 KachelY + 1 82764 0.66867181 -0.74537182 38.312073 -42.706659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74533660--0.74537182) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74533660--0.74537182) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66862388-0.66867181) × cos(-0.74533660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734859655431684 × 6371000     		do = 224.398236147857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66862388-0.66867181) × cos(-0.74537182) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734835768095594 × 6371000     		du = 224.390941862417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74533660)-sin(-0.74537182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734859655431684-0.734835768095594)×R²
    abs(0.66867181-0.66862388)×2.38873360894898e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38873360894898e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38873360894898e-05×40589641000000     		ar = 50351.1433784049m²