Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79484 / 18052
↖ ↑ ↗
← N 78.275969°
E 38.309326°		 ← 62.05 m → N 78.275969°
E 38.312073°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.275411°
E 38.309326°		 ← 62.05 m →
3 850 m²		 N 78.275411°
E 38.312073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606418609619141 y=0.137729644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606418609619141 × 217)
    floor (0.606418609619141 × 131072)
    floor (79484.5)     		tx = 79484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137729644775391 × 217)
    floor (0.137729644775391 × 131072)
    floor (18052.5)     		ty = 18052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79484 / 18052 ti = "17/79484/18052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79484/18052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79484 ÷ 217
    79484 ÷ 131072     		x = 0.606414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18052 ÷ 217
    18052 ÷ 131072     		y = 0.137725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606414794921875 × 2 - 1) × π
    0.21282958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66862388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137725830078125 × 2 - 1) × π
    0.72454833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27623574155875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66862388} λ = 0.66862388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27623574155875))-π/2
    2×atan(9.73994763696866)-π/2
    2×1.46848485782562-π/2
    2.93696971565124-1.57079632675     		φ = 1.36617339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66862388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.309326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36617339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.275969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79484 KachelY 18052 0.66862388 1.36617339 38.309326 78.275969
    Oben rechts KachelX + 1 79485 KachelY 18052 0.66867181 1.36617339 38.312073 78.275969
    Unten links KachelX 79484 KachelY + 1 18053 0.66862388 1.36616365 38.309326 78.275411
    Unten rechts KachelX + 1 79485 KachelY + 1 18053 0.66867181 1.36616365 38.312073 78.275411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36617339-1.36616365) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dl = 62.0535399991673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36617339-1.36616365) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dr = 62.0535399991673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66862388-0.66867181) × cos(1.36617339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203197977569462 × 6371000     		do = 62.0489469225433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66862388-0.66867181) × cos(1.36616365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203207514360754 × 6371000     		du = 62.0518590964921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36617339)-sin(1.36616365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203197977569462-0.203207514360754)×R²
    abs(0.66867181-0.66862388)×9.53679129242491e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.53679129242491e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.53679129242491e-06×40589641000000     		ar = 3850.44716506837m²