Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7948 / 9391
↖ ↑ ↗
← S 25.463115°
W  5.361328°		 ← 2 205.94 m → S 25.463115°
W  5.339355°		 →
↑
2 205.70 m
↓
↑
2 205.70 m
↓
S 25.482951°
W  5.361328°		 ← 2 205.58 m →
4 865 258 m²		 S 25.482951°
W  5.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485137939453125 y=0.573211669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485137939453125 × 214)
    floor (0.485137939453125 × 16384)
    floor (7948.5)     		tx = 7948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573211669921875 × 214)
    floor (0.573211669921875 × 16384)
    floor (9391.5)     		ty = 9391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7948 / 9391 ti = "14/7948/9391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7948/9391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7948 ÷ 214
    7948 ÷ 16384     		x = 0.485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9391 ÷ 214
    9391 ÷ 16384     		y = 0.57318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.02978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09357283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57318115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.459810741155579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09357283} λ = -0.09357283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.459810741155579))-π/2
    2×atan(0.631403132826836)-π/2
    2×0.56319057022939-π/2
    1.12638114045878-1.57079632675     		φ = -0.44441519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09357283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44441519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.463115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7948 KachelY 9391 -0.09357283 -0.44441519 -5.361328 -25.463115
    Oben rechts KachelX + 1 7949 KachelY 9391 -0.09318933 -0.44441519 -5.339355 -25.463115
    Unten links KachelX 7948 KachelY + 1 9392 -0.09357283 -0.44476140 -5.361328 -25.482951
    Unten rechts KachelX + 1 7949 KachelY + 1 9392 -0.09318933 -0.44476140 -5.339355 -25.482951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44441519--0.44476140) × R
    0.000346209999999958 × 6371000     		dl = 2205.70390999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44441519--0.44476140) × R
    0.000346209999999958 × 6371000     		dr = 2205.70390999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09357283--0.09318933) × cos(-0.44441519) × R
    0.000383499999999995 × 0.902862247107108 × 6371000     		do = 2205.94391681845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09357283--0.09318933) × cos(-0.44476140) × R
    0.000383499999999995 × 0.902713346952603 × 6371000     		du = 2205.58011227231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44441519)-sin(-0.44476140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902862247107108-0.902713346952603)×R²
    abs(-0.09318933--0.09357283)×0.000148900154504528×R²
    0.000383499999999995×0.000148900154504528×6371000²
    0.000383499999999995×0.000148900154504528×40589641000000     		ar = 4865257.94860771m²