Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79466 / 82778
↖ ↑ ↗
← S 42.734909°
E 38.259888°		 ← 224.34 m → S 42.734909°
E 38.262634°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 42.736927°
E 38.259888°		 ← 224.33 m →
50 323 m²		 S 42.736927°
E 38.262634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606281280517578 y=0.631549835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606281280517578 × 217)
    floor (0.606281280517578 × 131072)
    floor (79466.5)     		tx = 79466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631549835205078 × 217)
    floor (0.631549835205078 × 131072)
    floor (82778.5)     		ty = 82778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79466 / 82778 ti = "17/79466/82778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79466/82778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79466 ÷ 217
    79466 ÷ 131072     		x = 0.606277465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82778 ÷ 217
    82778 ÷ 131072     		y = 0.631546020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606277465820312 × 2 - 1) × π
    0.212554931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66776101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631546020507812 × 2 - 1) × π
    -0.263092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.826528023249008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66776101} λ = 0.66776101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826528023249008))-π/2
    2×atan(0.437565870555043)-π/2
    2×0.412465728332456-π/2
    0.824931456664911-1.57079632675     		φ = -0.74586487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66776101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.259888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74586487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.734909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79466 KachelY 82778 0.66776101 -0.74586487 38.259888 -42.734909
    Oben rechts KachelX + 1 79467 KachelY 82778 0.66780895 -0.74586487 38.262634 -42.734909
    Unten links KachelX 79466 KachelY + 1 82779 0.66776101 -0.74590008 38.259888 -42.736927
    Unten rechts KachelX + 1 79467 KachelY + 1 82779 0.66780895 -0.74590008 38.262634 -42.736927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74586487--0.74590008) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dl = 224.322909999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74586487--0.74590008) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dr = 224.322909999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66776101-0.66780895) × cos(-0.74586487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73450127005183 × 6371000     		do = 224.335593936373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66776101-0.66780895) × cos(-0.74590008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734477375833073 × 6371000     		du = 224.328296026927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74586487)-sin(-0.74590008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73450127005183-0.734477375833073)×R²
    abs(0.66780895-0.66776101)×2.38942187574809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38942187574809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38942187574809e-05×40589641000000     		ar = 50322.794709417m²