Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7943 / 9619
↖ ↑ ↗
← S 29.897806°
W  5.471191°		 ← 2 118.06 m → S 29.897806°
W  5.449219°		 →
↑
2 117.85 m
↓
↑
2 117.85 m
↓
S 29.916852°
W  5.471191°		 ← 2 117.66 m →
4 485 303 m²		 S 29.916852°
W  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484832763671875 y=0.587127685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484832763671875 × 214)
    floor (0.484832763671875 × 16384)
    floor (7943.5)     		tx = 7943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587127685546875 × 214)
    floor (0.587127685546875 × 16384)
    floor (9619.5)     		ty = 9619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7943 / 9619 ti = "14/7943/9619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7943/9619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7943 ÷ 214
    7943 ÷ 16384     		x = 0.48480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9619 ÷ 214
    9619 ÷ 16384     		y = 0.58709716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.0303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09549030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58709716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1741943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.547247646062561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09549030} λ = -0.09549030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547247646062561))-π/2
    2×atan(0.578539967796959)-π/2
    2×0.524490589895002-π/2
    1.04898117979-1.57079632675     		φ = -0.52181515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09549030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.471191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52181515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.897806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7943 KachelY 9619 -0.09549030 -0.52181515 -5.471191 -29.897806
    Oben rechts KachelX + 1 7944 KachelY 9619 -0.09510681 -0.52181515 -5.449219 -29.897806
    Unten links KachelX 7943 KachelY + 1 9620 -0.09549030 -0.52214757 -5.471191 -29.916852
    Unten rechts KachelX + 1 7944 KachelY + 1 9620 -0.09510681 -0.52214757 -5.449219 -29.916852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52181515--0.52214757) × R
    0.00033242 × 6371000     		dl = 2117.84782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52181515--0.52214757) × R
    0.00033242 × 6371000     		dr = 2117.84782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09549030--0.09510681) × cos(-0.52181515) × R
    0.00038349 × 0.866915838559009 × 6371000     		do = 2118.06159845262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09549030--0.09510681) × cos(-0.52214757) × R
    0.00038349 × 0.866750094405313 × 6371000     		du = 2117.65664988496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52181515)-sin(-0.52214757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866915838559009-0.866750094405313)×R²
    abs(-0.09510681--0.09549030)×0.000165744153695968×R²
    0.00038349×0.000165744153695968×6371000²
    0.00038349×0.000165744153695968×40589641000000     		ar = 4485303.37049121m²