Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7941 / 10921
↖ ↑ ↗
← N 75.961565°
W136.378784°		 ← 148.16 m → N 75.961565°
W136.373291°		 →
↑
148.13 m
↓
↑
148.13 m
↓
N 75.960233°
W136.378784°		 ← 148.17 m →
21 947 m²		 N 75.960233°
W136.373291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121177673339844 y=0.166648864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121177673339844 × 216)
    floor (0.121177673339844 × 65536)
    floor (7941.5)     		tx = 7941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166648864746094 × 216)
    floor (0.166648864746094 × 65536)
    floor (10921.5)     		ty = 10921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7941 / 10921 ti = "16/7941/10921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7941/10921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7941 ÷ 216
    7941 ÷ 65536     		x = 0.121170043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10921 ÷ 216
    10921 ÷ 65536     		y = 0.166641235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121170043945312 × 2 - 1) × π
    -0.757659912109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38025881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166641235351562 × 2 - 1) × π
    0.666717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09455489199873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38025881} λ = -2.38025881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09455489199873))-π/2
    2×atan(8.12182507621434)-π/2
    2×1.44828787526053-π/2
    2.89657575052105-1.57079632675     		φ = 1.32577942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38025881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.378784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32577942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.961565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7941 KachelY 10921 -2.38025881 1.32577942 -136.378784 75.961565
    Oben rechts KachelX + 1 7942 KachelY 10921 -2.38016294 1.32577942 -136.373291 75.961565
    Unten links KachelX 7941 KachelY + 1 10922 -2.38025881 1.32575617 -136.378784 75.960233
    Unten rechts KachelX + 1 7942 KachelY + 1 10922 -2.38016294 1.32575617 -136.373291 75.960233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32577942-1.32575617) × R
    2.32499999999192e-05 × 6371000     		dl = 148.125749999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32577942-1.32575617) × R
    2.32499999999192e-05 × 6371000     		dr = 148.125749999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38025881--2.38016294) × cos(1.32577942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24257272666668 × 6371000     		do = 148.160454783558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38025881--2.38016294) × cos(1.32575617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242595282198573 × 6371000     		du = 148.174231426584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32577942)-sin(1.32575617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24257272666668-0.242595282198573)×R²
    abs(-2.38016294--2.38025881)×2.25555318926485e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25555318926485e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25555318926485e-05×40589641000000     		ar = 21947.3988240044m²