Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7939 / 9387
↖ ↑ ↗
← S 25.383735°
W  5.559082°		 ← 2 207.34 m → S 25.383735°
W  5.537109°		 →
↑
2 207.17 m
↓
↑
2 207.17 m
↓
S 25.403585°
W  5.559082°		 ← 2 206.98 m →
4 871 571 m²		 S 25.403585°
W  5.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484588623046875 y=0.572967529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484588623046875 × 214)
    floor (0.484588623046875 × 16384)
    floor (7939.5)     		tx = 7939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572967529296875 × 214)
    floor (0.572967529296875 × 16384)
    floor (9387.5)     		ty = 9387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7939 / 9387 ti = "14/7939/9387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7939/9387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7939 ÷ 214
    7939 ÷ 16384     		x = 0.48455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9387 ÷ 214
    9387 ÷ 16384     		y = 0.57293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.0308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09702428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.458276760367737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09702428} λ = -0.09702428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458276760367737))-π/2
    2×atan(0.632372436358401)-π/2
    2×0.563883285078767-π/2
    1.12776657015753-1.57079632675     		φ = -0.44302976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09702428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44302976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.383735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7939 KachelY 9387 -0.09702428 -0.44302976 -5.559082 -25.383735
    Oben rechts KachelX + 1 7940 KachelY 9387 -0.09664079 -0.44302976 -5.537109 -25.383735
    Unten links KachelX 7939 KachelY + 1 9388 -0.09702428 -0.44337620 -5.559082 -25.403585
    Unten rechts KachelX + 1 7940 KachelY + 1 9388 -0.09664079 -0.44337620 -5.537109 -25.403585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44302976--0.44337620) × R
    0.000346440000000003 × 6371000     		dl = 2207.16924000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44302976--0.44337620) × R
    0.000346440000000003 × 6371000     		dr = 2207.16924000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09702428--0.09664079) × cos(-0.44302976) × R
    0.00038349 × 0.903457018284435 × 6371000     		do = 2207.33954920183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09702428--0.09664079) × cos(-0.44337620) × R
    0.00038349 × 0.903308452626554 × 6371000     		du = 2206.97657138921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44302976)-sin(-0.44337620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903457018284435-0.903308452626554)×R²
    abs(-0.09664079--0.09702428)×0.000148565657880351×R²
    0.00038349×0.000148565657880351×6371000²
    0.00038349×0.000148565657880351×40589641000000     		ar = 4871571.42722692m²