Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7938 / 5900
↖ ↑ ↗
← N 74.741185°
W 92.790528°		 ← 321.51 m → N 74.741185°
W 92.779541°		 →
↑
321.48 m
↓
↑
321.48 m
↓
N 74.738294°
W 92.790528°		 ← 321.57 m →
103 369 m²		 N 74.738294°
W 92.779541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242263793945312 y=0.180068969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242263793945312 × 215)
    floor (0.242263793945312 × 32768)
    floor (7938.5)     		tx = 7938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.180068969726562 × 215)
    floor (0.180068969726562 × 32768)
    floor (5900.5)     		ty = 5900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7938 / 5900 ti = "15/7938/5900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7938/5900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7938 ÷ 215
    7938 ÷ 32768     		x = 0.24224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5900 ÷ 215
    5900 ÷ 32768     		y = 0.1800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.5155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.61950022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1800537109375 × 2 - 1) × π
    0.639892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01028182246667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61950022} λ = -1.61950022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01028182246667))-π/2
    2×atan(7.46542097423433)-π/2
    2×1.43763804554749-π/2
    2.87527609109498-1.57079632675     		φ = 1.30447976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61950022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.790528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30447976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.741185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7938 KachelY 5900 -1.61950022 1.30447976 -92.790528 74.741185
    Oben rechts KachelX + 1 7939 KachelY 5900 -1.61930847 1.30447976 -92.779541 74.741185
    Unten links KachelX 7938 KachelY + 1 5901 -1.61950022 1.30442930 -92.790528 74.738294
    Unten rechts KachelX + 1 7939 KachelY + 1 5901 -1.61930847 1.30442930 -92.779541 74.738294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30447976-1.30442930) × R
    5.04599999999744e-05 × 6371000     		dl = 321.480659999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30447976-1.30442930) × R
    5.04599999999744e-05 × 6371000     		dr = 321.480659999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61950022--1.61930847) × cos(1.30447976) × R
    0.000191749999999935 × 0.263179649533184 × 6371000     		do = 321.510589670873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61950022--1.61930847) × cos(1.30442930) × R
    0.000191749999999935 × 0.263228330323832 × 6371000     		du = 321.570060035449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30447976)-sin(1.30442930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263179649533184-0.263228330323832)×R²
    abs(-1.61930847--1.61950022)×4.86807906475151e-05×R²
    0.000191749999999935×4.86807906475151e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.86807906475151e-05×40589641000000     		ar = 103368.99587276m²