Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7937 / 5897
↖ ↑ ↗
← N 74.749856°
W 92.801513°		 ← 321.32 m → N 74.749856°
W 92.790528°		 →
↑
321.35 m
↓
↑
321.35 m
↓
N 74.746966°
W 92.801513°		 ← 321.37 m →
103 265 m²		 N 74.746966°
W 92.790528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242233276367188 y=0.179977416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242233276367188 × 215)
    floor (0.242233276367188 × 32768)
    floor (7937.5)     		tx = 7937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179977416992188 × 215)
    floor (0.179977416992188 × 32768)
    floor (5897.5)     		ty = 5897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7937 / 5897 ti = "15/7937/5897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7937/5897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7937 ÷ 215
    7937 ÷ 32768     		x = 0.242218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5897 ÷ 215
    5897 ÷ 32768     		y = 0.179962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.51556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.61969196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179962158203125 × 2 - 1) × π
    0.64007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01085706526212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61969196} λ = -1.61969196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01085706526212))-π/2
    2×atan(7.46971663927142)-π/2
    2×1.43771372064425-π/2
    2.87542744128851-1.57079632675     		φ = 1.30463111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61969196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.801513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30463111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.749856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7937 KachelY 5897 -1.61969196 1.30463111 -92.801513 74.749856
    Oben rechts KachelX + 1 7938 KachelY 5897 -1.61950022 1.30463111 -92.790528 74.749856
    Unten links KachelX 7937 KachelY + 1 5898 -1.61969196 1.30458067 -92.801513 74.746966
    Unten rechts KachelX + 1 7938 KachelY + 1 5898 -1.61950022 1.30458067 -92.790528 74.746966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30463111-1.30458067) × R
    5.0440000000096e-05 × 6371000     		dl = 321.353240000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30463111-1.30458067) × R
    5.0440000000096e-05 × 6371000     		dr = 321.353240000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61969196--1.61950022) × cos(1.30463111) × R
    0.000191739999999996 × 0.263033632084671 × 6371000     		do = 321.315451151986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61969196--1.61950022) × cos(1.30458067) × R
    0.000191739999999996 × 0.263082295589414 × 6371000     		du = 321.37489729907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30463111)-sin(1.30458067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263033632084671-0.263082295589414)×R²
    abs(-1.61950022--1.61969196)×4.8663504742974e-05×R²
    0.000191739999999996×4.8663504742974e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.8663504742974e-05×40589641000000     		ar = 103265.312917773m²