Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7937 / 5373
↖ ↑ ↗
← S 48.835798°
E168.793945°		 ← 3 216.38 m → S 48.835798°
E168.837890°		 →
↑
3 215.44 m
↓
↑
3 215.44 m
↓
S 48.864715°
E168.793945°		 ← 3 214.53 m →
10 339 116 m²		 S 48.864715°
E168.837890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.96893310546875 y=0.65594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.96893310546875 × 213)
    floor (0.96893310546875 × 8192)
    floor (7937.5)     		tx = 7937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65594482421875 × 213)
    floor (0.65594482421875 × 8192)
    floor (5373.5)     		ty = 5373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7937 / 5373 ti = "13/7937/5373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7937/5373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7937 ÷ 213
    7937 ÷ 8192     		x = 0.9688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5373 ÷ 213
    5373 ÷ 8192     		y = 0.6558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9688720703125 × 2 - 1) × π
    0.937744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.94601010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.979446733036987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94601010} λ = 2.94601010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979446733036987))-π/2
    2×atan(0.375518803536018)-π/2
    2×0.359225434128406-π/2
    0.718450868256812-1.57079632675     		φ = -0.85234546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94601010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85234546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.835798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7937 KachelY 5373 2.94601010 -0.85234546 168.793945 -48.835798
    Oben rechts KachelX + 1 7938 KachelY 5373 2.94677709 -0.85234546 168.837890 -48.835798
    Unten links KachelX 7937 KachelY + 1 5374 2.94601010 -0.85285016 168.793945 -48.864715
    Unten rechts KachelX + 1 7938 KachelY + 1 5374 2.94677709 -0.85285016 168.837890 -48.864715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85234546--0.85285016) × R
    0.000504700000000025 × 6371000     		dl = 3215.44370000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85234546--0.85285016) × R
    0.000504700000000025 × 6371000     		dr = 3215.44370000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94601010-2.94677709) × cos(-0.85234546) × R
    0.000766989999999801 × 0.658219234018474 × 6371000     		do = 3216.38387037938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94601010-2.94677709) × cos(-0.85285016) × R
    0.000766989999999801 × 0.657839198768838 × 6371000     		du = 3214.52683068207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85234546)-sin(-0.85285016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658219234018474-0.657839198768838)×R²
    abs(2.94677709-2.94601010)×0.00038003524963659×R²
    0.000766989999999801×0.00038003524963659×6371000²
    0.000766989999999801×0.00038003524963659×40589641000000     		ar = 10339115.8689632m²