Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7936 / 10905
↖ ↑ ↗
← N 75.982870°
W136.406250°		 ← 147.94 m → N 75.982870°
W136.400757°		 →
↑
147.93 m
↓
↑
147.93 m
↓
N 75.981539°
W136.406250°		 ← 147.95 m →
21 886 m²		 N 75.981539°
W136.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121101379394531 y=0.166404724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121101379394531 × 216)
    floor (0.121101379394531 × 65536)
    floor (7936.5)     		tx = 7936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166404724121094 × 216)
    floor (0.166404724121094 × 65536)
    floor (10905.5)     		ty = 10905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7936 / 10905 ti = "16/7936/10905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7936/10905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7936 ÷ 216
    7936 ÷ 65536     		x = 0.12109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10905 ÷ 216
    10905 ÷ 65536     		y = 0.166397094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12109375 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166397094726562 × 2 - 1) × π
    0.667205810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09608887278658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38073818} λ = -2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09608887278658))-π/2
    2×atan(8.13429336045278)-π/2
    2×1.44847378783597-π/2
    2.89694757567195-1.57079632675     		φ = 1.32615125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32615125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.982870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7936 KachelY 10905 -2.38073818 1.32615125 -136.406250 75.982870
    Oben rechts KachelX + 1 7937 KachelY 10905 -2.38064231 1.32615125 -136.400757 75.982870
    Unten links KachelX 7936 KachelY + 1 10906 -2.38073818 1.32612803 -136.406250 75.981539
    Unten rechts KachelX + 1 7937 KachelY + 1 10906 -2.38064231 1.32612803 -136.400757 75.981539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32615125-1.32612803) × R
    2.32199999998794e-05 × 6371000     		dl = 147.934619999232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32615125-1.32612803) × R
    2.32199999998794e-05 × 6371000     		dr = 147.934619999232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38073818--2.38064231) × cos(1.32615125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242211985269563 × 6371000     		do = 147.940118350066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38073818--2.38064231) × cos(1.32612803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242234513790515 × 6371000     		du = 147.95387849514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32615125)-sin(1.32612803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242211985269563-0.242234513790515)×R²
    abs(-2.38064231--2.38073818)×2.25285209518589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25285209518589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25285209518589e-05×40589641000000     		ar = 21886.4829927023m²