Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7935 / 10904
↖ ↑ ↗
← N 75.984200°
W136.411743°		 ← 147.94 m → N 75.984200°
W136.406250°		 →
↑
147.93 m
↓
↑
147.93 m
↓
N 75.982870°
W136.411743°		 ← 147.96 m →
21 887 m²		 N 75.982870°
W136.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121086120605469 y=0.166389465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121086120605469 × 216)
    floor (0.121086120605469 × 65536)
    floor (7935.5)     		tx = 7935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166389465332031 × 216)
    floor (0.166389465332031 × 65536)
    floor (10904.5)     		ty = 10904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7935 / 10904 ti = "16/7935/10904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7935/10904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7935 ÷ 216
    7935 ÷ 65536     		x = 0.121078491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10904 ÷ 216
    10904 ÷ 65536     		y = 0.1663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121078491210938 × 2 - 1) × π
    -0.757843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38083406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1663818359375 × 2 - 1) × π
    0.667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09618474658582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38083406} λ = -2.38083406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09618474658582))-π/2
    2×atan(8.13507326344692)-π/2
    2×1.44848539818765-π/2
    2.8969707963753-1.57079632675     		φ = 1.32617447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38083406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32617447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.984200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7935 KachelY 10904 -2.38083406 1.32617447 -136.411743 75.984200
    Oben rechts KachelX + 1 7936 KachelY 10904 -2.38073818 1.32617447 -136.406250 75.984200
    Unten links KachelX 7935 KachelY + 1 10905 -2.38083406 1.32615125 -136.411743 75.982870
    Unten rechts KachelX + 1 7936 KachelY + 1 10905 -2.38073818 1.32615125 -136.406250 75.982870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32617447-1.32615125) × R
    2.32200000001015e-05 × 6371000     		dl = 147.934620000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32617447-1.32615125) × R
    2.32200000001015e-05 × 6371000     		dr = 147.934620000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38083406--2.38073818) × cos(1.32617447) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.242189456618018 × 6371000     		do = 147.9417880161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38083406--2.38073818) × cos(1.32615125) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.242211985269563 × 6371000     		du = 147.955549676239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32617447)-sin(1.32615125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242189456618018-0.242211985269563)×R²
    abs(-2.38073818--2.38083406)×2.25286515450895e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.25286515450895e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.25286515450895e-05×40589641000000     		ar = 21886.730106603m²