Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7934 / 4865
↖ ↑ ↗
← N 77.463644°
W 92.834473°		 ← 265.17 m → N 77.463644°
W 92.823486°		 →
↑
265.22 m
↓
↑
265.22 m
↓
N 77.461259°
W 92.834473°		 ← 265.22 m →
70 336 m²		 N 77.461259°
W 92.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242141723632812 y=0.148483276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242141723632812 × 215)
    floor (0.242141723632812 × 32768)
    floor (7934.5)     		tx = 7934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148483276367188 × 215)
    floor (0.148483276367188 × 32768)
    floor (4865.5)     		ty = 4865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7934 / 4865 ti = "15/7934/4865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7934/4865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7934 ÷ 215
    7934 ÷ 32768     		x = 0.24212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4865 ÷ 215
    4865 ÷ 32768     		y = 0.148468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.5157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.62026721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148468017578125 × 2 - 1) × π
    0.70306396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20874058689371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62026721} λ = -1.62026721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20874058689371))-π/2
    2×atan(9.10424316662402)-π/2
    2×1.4613959827438-π/2
    2.9227919654876-1.57079632675     		φ = 1.35199564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62026721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35199564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.463644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7934 KachelY 4865 -1.62026721 1.35199564 -92.834473 77.463644
    Oben rechts KachelX + 1 7935 KachelY 4865 -1.62007546 1.35199564 -92.823486 77.463644
    Unten links KachelX 7934 KachelY + 1 4866 -1.62026721 1.35195401 -92.834473 77.461259
    Unten rechts KachelX + 1 7935 KachelY + 1 4866 -1.62007546 1.35195401 -92.823486 77.461259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35199564-1.35195401) × R
    4.16299999999037e-05 × 6371000     		dl = 265.224729999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35199564-1.35195401) × R
    4.16299999999037e-05 × 6371000     		dr = 265.224729999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62026721--1.62007546) × cos(1.35199564) × R
    0.000191749999999935 × 0.21705905971813 × 6371000     		do = 265.167866919672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62026721--1.62007546) × cos(1.35195401) × R
    0.000191749999999935 × 0.217099697007265 × 6371000     		du = 265.217511027093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35199564)-sin(1.35195401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21705905971813-0.217099697007265)×R²
    abs(-1.62007546--1.62026721)×4.06372891352536e-05×R²
    0.000191749999999935×4.06372891352536e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.06372891352536e-05×40589641000000     		ar = 70335.6593414913m²