Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7934 / 4861
↖ ↑ ↗
← N 77.473179°
W 92.834473°		 ← 264.97 m → N 77.473179°
W 92.823486°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
N 77.470796°
W 92.834473°		 ← 265.02 m →
70 215 m²		 N 77.470796°
W 92.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242141723632812 y=0.148361206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242141723632812 × 215)
    floor (0.242141723632812 × 32768)
    floor (7934.5)     		tx = 7934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148361206054688 × 215)
    floor (0.148361206054688 × 32768)
    floor (4861.5)     		ty = 4861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7934 / 4861 ti = "15/7934/4861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7934/4861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7934 ÷ 215
    7934 ÷ 32768     		x = 0.24212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4861 ÷ 215
    4861 ÷ 32768     		y = 0.148345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.5157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.62026721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148345947265625 × 2 - 1) × π
    0.70330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20950757728763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62026721} λ = -1.62026721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20950757728763))-π/2
    2×atan(9.11122871225749)-π/2
    2×1.46147919269706-π/2
    2.92295838539412-1.57079632675     		φ = 1.35216206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62026721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35216206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.473179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7934 KachelY 4861 -1.62026721 1.35216206 -92.834473 77.473179
    Oben rechts KachelX + 1 7935 KachelY 4861 -1.62007546 1.35216206 -92.823486 77.473179
    Unten links KachelX 7934 KachelY + 1 4862 -1.62026721 1.35212047 -92.834473 77.470796
    Unten rechts KachelX + 1 7935 KachelY + 1 4862 -1.62007546 1.35212047 -92.823486 77.470796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35216206-1.35212047) × R
    4.15899999999247e-05 × 6371000     		dl = 264.969889999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35216206-1.35212047) × R
    4.15899999999247e-05 × 6371000     		dr = 264.969889999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62026721--1.62007546) × cos(1.35216206) × R
    0.000191749999999935 × 0.216896604419995 × 6371000     		do = 264.9694051511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62026721--1.62007546) × cos(1.35212047) × R
    0.000191749999999935 × 0.216937204165086 × 6371000     		du = 265.019003393242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35216206)-sin(1.35212047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216896604419995-0.216937204165086)×R²
    abs(-1.62007546--1.62026721)×4.0599745090214e-05×R²
    0.000191749999999935×4.0599745090214e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.0599745090214e-05×40589641000000     		ar = 70215.4851665821m²