Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7933 / 9397
↖ ↑ ↗
← S 25.582085°
W  5.690918°		 ← 2 203.76 m → S 25.582085°
W  5.668945°		 →
↑
2 203.54 m
↓
↑
2 203.54 m
↓
S 25.601902°
W  5.690918°		 ← 2 203.39 m →
4 855 662 m²		 S 25.601902°
W  5.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484222412109375 y=0.573577880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484222412109375 × 214)
    floor (0.484222412109375 × 16384)
    floor (7933.5)     		tx = 7933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573577880859375 × 214)
    floor (0.573577880859375 × 16384)
    floor (9397.5)     		ty = 9397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7933 / 9397 ti = "14/7933/9397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7933/9397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7933 ÷ 214
    7933 ÷ 16384     		x = 0.48419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9397 ÷ 214
    9397 ÷ 16384     		y = 0.57354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.0316162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09932526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.462111712337341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09932526} λ = -0.09932526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462111712337341))-π/2
    2×atan(0.629951962604822)-π/2
    2×0.562152354583756-π/2
    1.12430470916751-1.57079632675     		φ = -0.44649162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09932526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.690918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44649162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.582085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7933 KachelY 9397 -0.09932526 -0.44649162 -5.690918 -25.582085
    Oben rechts KachelX + 1 7934 KachelY 9397 -0.09894176 -0.44649162 -5.668945 -25.582085
    Unten links KachelX 7933 KachelY + 1 9398 -0.09932526 -0.44683749 -5.690918 -25.601902
    Unten rechts KachelX + 1 7934 KachelY + 1 9398 -0.09894176 -0.44683749 -5.668945 -25.601902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44649162--0.44683749) × R
    0.000345870000000026 × 6371000     		dl = 2203.53777000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44649162--0.44683749) × R
    0.000345870000000026 × 6371000     		dr = 2203.53777000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09932526--0.09894176) × cos(-0.44649162) × R
    0.000383499999999995 × 0.901967581928126 × 6371000     		do = 2203.75800062195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09932526--0.09894176) × cos(-0.44683749) × R
    0.000383499999999995 × 0.901818180017623 × 6371000     		du = 2203.39297014616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44649162)-sin(-0.44683749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901967581928126-0.901818180017623)×R²
    abs(-0.09894176--0.09932526)×0.000149401910502944×R²
    0.000383499999999995×0.000149401910502944×6371000²
    0.000383499999999995×0.000149401910502944×40589641000000     		ar = 4855661.85949506m²