Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7933 / 10910
↖ ↑ ↗
← N 75.976215°
W136.422729°		 ← 148.01 m → N 75.976215°
W136.417236°		 →
↑
148 m
↓
↑
148 m
↓
N 75.974884°
W136.422729°		 ← 148.02 m →
21 906 m²		 N 75.974884°
W136.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121055603027344 y=0.166481018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121055603027344 × 216)
    floor (0.121055603027344 × 65536)
    floor (7933.5)     		tx = 7933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166481018066406 × 216)
    floor (0.166481018066406 × 65536)
    floor (10910.5)     		ty = 10910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7933 / 10910 ti = "16/7933/10910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7933/10910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7933 ÷ 216
    7933 ÷ 65536     		x = 0.121047973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10910 ÷ 216
    10910 ÷ 65536     		y = 0.166473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121047973632812 × 2 - 1) × π
    -0.757904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38102580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166473388671875 × 2 - 1) × π
    0.66705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09560950379037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38102580} λ = -2.38102580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09560950379037))-π/2
    2×atan(8.13039496686894)-π/2
    2×1.44841571987521-π/2
    2.89683143975041-1.57079632675     		φ = 1.32603511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38102580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.422729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32603511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.976215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7933 KachelY 10910 -2.38102580 1.32603511 -136.422729 75.976215
    Oben rechts KachelX + 1 7934 KachelY 10910 -2.38092993 1.32603511 -136.417236 75.976215
    Unten links KachelX 7933 KachelY + 1 10911 -2.38102580 1.32601188 -136.422729 75.974884
    Unten rechts KachelX + 1 7934 KachelY + 1 10911 -2.38092993 1.32601188 -136.417236 75.974884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32603511-1.32601188) × R
    2.32300000000407e-05 × 6371000     		dl = 147.998330000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32603511-1.32601188) × R
    2.32300000000407e-05 × 6371000     		dr = 147.998330000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38102580--2.38092993) × cos(1.32603511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242324665375958 × 6371000     		do = 148.008941980974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38102580--2.38092993) × cos(1.32601188) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242347202945434 × 6371000     		du = 148.022707652776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32603511)-sin(1.32601188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242324665375958-0.242347202945434)×R²
    abs(-2.38092993--2.38102580)×2.25375694753449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25375694753449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25375694753449e-05×40589641000000     		ar = 21906.094887519m²