Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 793 / 761
↖ ↑ ↗
← S 65.512963°
E 98.789063°		 ← 16.203 km → S 65.512963°
E 99.140625°		 →
↑
16.158 km
↓
↑
16.158 km
↓
S 65.658274°
E 98.789063°		 ← 16.113 km →
261.080 km²		 S 65.658274°
E 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77490234375 y=0.74365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77490234375 × 210)
    floor (0.77490234375 × 1024)
    floor (793.5)     		tx = 793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74365234375 × 210)
    floor (0.74365234375 × 1024)
    floor (761.5)     		ty = 761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 793 / 761 ti = "10/793/761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/793/761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 793 ÷ 210
    793 ÷ 1024     		x = 0.7744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 761 ÷ 210
    761 ÷ 1024     		y = 0.7431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7431640625 × 2 - 1) × π
    -0.486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52784486469043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72419441} λ = 1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52784486469043))-π/2
    2×atan(0.217002834201529)-π/2
    2×0.213689713761125-π/2
    0.42737942752225-1.57079632675     		φ = -1.14341690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14341690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.512963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 793 KachelY 761 1.72419441 -1.14341690 98.789063 -65.512963
    Oben rechts KachelX + 1 794 KachelY 761 1.73033033 -1.14341690 99.140625 -65.512963
    Unten links KachelX 793 KachelY + 1 762 1.72419441 -1.14595307 98.789063 -65.658274
    Unten rechts KachelX + 1 794 KachelY + 1 762 1.73033033 -1.14595307 99.140625 -65.658274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14341690--1.14595307) × R
    0.00253616999999995 × 6371000     		dl = 16157.9390699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14341690--1.14595307) × R
    0.00253616999999995 × 6371000     		dr = 16157.9390699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72419441-1.73033033) × cos(-1.14341690) × R
    0.00613591999999996 × 0.414487362458354 × 6371000     		do = 16203.1177235403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72419441-1.73033033) × cos(-1.14595307) × R
    0.00613591999999996 × 0.412177977547995 × 6371000     		du = 16112.8393725923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14341690)-sin(-1.14595307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414487362458354-0.412177977547995)×R²
    abs(1.73033033-1.72419441)×0.00230938491035909×R²
    0.00613591999999996×0.00230938491035909×6371000²
    0.00613591999999996×0.00230938491035909×40589641000000     		ar = 261079772.816233m²