Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 793 / 750
↖ ↑ ↗
← S 63.860036°
E 98.789063°		 ← 17.223 km → S 63.860036°
E 99.140625°		 →
↑
17.175 km
↓
↑
17.175 km
↓
S 64.014496°
E 98.789063°		 ← 17.128 km →
294.988 km²		 S 64.014496°
E 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77490234375 y=0.73291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77490234375 × 210)
    floor (0.77490234375 × 1024)
    floor (793.5)     		tx = 793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73291015625 × 210)
    floor (0.73291015625 × 1024)
    floor (750.5)     		ty = 750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 793 / 750 ti = "10/793/750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/793/750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 793 ÷ 210
    793 ÷ 1024     		x = 0.7744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 750 ÷ 210
    750 ÷ 1024     		y = 0.732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732421875 × 2 - 1) × π
    -0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72419441} λ = 1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46034971002539))-π/2
    2×atan(0.232155073575483)-π/2
    2×0.228114219998436-π/2
    0.456228439996872-1.57079632675     		φ = -1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 793 KachelY 750 1.72419441 -1.11456789 98.789063 -63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 794 KachelY 750 1.73033033 -1.11456789 99.140625 -63.860036
    Unten links KachelX 793 KachelY + 1 751 1.72419441 -1.11726373 98.789063 -64.014496
    Unten rechts KachelX + 1 794 KachelY + 1 751 1.73033033 -1.11726373 99.140625 -64.014496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11456789--1.11726373) × R
    0.00269583999999989 × 6371000     		dl = 17175.1966399993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11456789--1.11726373) × R
    0.00269583999999989 × 6371000     		dr = 17175.1966399993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72419441-1.73033033) × cos(-1.11456789) × R
    0.00613591999999996 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 17222.5604855792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72419441-1.73033033) × cos(-1.11726373) × R
    0.00613591999999996 × 0.438143730026227 × 6371000     		du = 17127.8911746297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11456789)-sin(-1.11726373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.438143730026227)×R²
    abs(1.73033033-1.72419441)×0.0024217088137426×R²
    0.00613591999999996×0.0024217088137426×6371000²
    0.00613591999999996×0.0024217088137426×40589641000000     		ar = 294988059.621892m²