Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7925 / 5362
↖ ↑ ↗
← S 48.516604°
E168.266602°		 ← 3 236.83 m → S 48.516604°
E168.310547°		 →
↑
3 235.89 m
↓
↑
3 235.89 m
↓
S 48.545706°
E168.266602°		 ← 3 234.97 m →
10 471 025 m²		 S 48.545706°
E168.310547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.96746826171875 y=0.65460205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.96746826171875 × 213)
    floor (0.96746826171875 × 8192)
    floor (7925.5)     		tx = 7925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65460205078125 × 213)
    floor (0.65460205078125 × 8192)
    floor (5362.5)     		ty = 5362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7925 / 5362 ti = "13/7925/5362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7925/5362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7925 ÷ 213
    7925 ÷ 8192     		x = 0.9674072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5362 ÷ 213
    5362 ÷ 8192     		y = 0.654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9674072265625 × 2 - 1) × π
    0.934814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93680622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.30908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.971009838703857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93680622} λ = 2.93680622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971009838703857))-π/2
    2×atan(0.378700418604051)-π/2
    2×0.362010919519072-π/2
    0.724021839038143-1.57079632675     		φ = -0.84677449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93680622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.266602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84677449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.516604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7925 KachelY 5362 2.93680622 -0.84677449 168.266602 -48.516604
    Oben rechts KachelX + 1 7926 KachelY 5362 2.93757321 -0.84677449 168.310547 -48.516604
    Unten links KachelX 7925 KachelY + 1 5363 2.93680622 -0.84728240 168.266602 -48.545706
    Unten rechts KachelX + 1 7926 KachelY + 1 5363 2.93757321 -0.84728240 168.310547 -48.545706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84677449--0.84728240) × R
    0.000507909999999945 × 6371000     		dl = 3235.89460999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84677449--0.84728240) × R
    0.000507909999999945 × 6371000     		dr = 3235.89460999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93680622-2.93757321) × cos(-0.84677449) × R
    0.000766990000000245 × 0.662402970941446 × 6371000     		do = 3236.82767278247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93680622-2.93757321) × cos(-0.84728240) × R
    0.000766990000000245 × 0.662022385899222 × 6371000     		du = 3234.96794652737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84677449)-sin(-0.84728240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662402970941446-0.662022385899222)×R²
    abs(2.93757321-2.93680622)×0.000380585042223935×R²
    0.000766990000000245×0.000380585042223935×6371000²
    0.000766990000000245×0.000380585042223935×40589641000000     		ar = 10471024.5058725m²